LA RECTA Y SUS ECUACIONES

Presentación del tema: "LA RECTA Y SUS ECUACIONES"— Transcripción de la presentación:

1 LA RECTA Y SUS ECUACIONES
UNIDAD 12

2 MAPA DE NAVEGACIÓN La Recta Índice Ejemplos Objetivo General
Objetivos específicos Objetivo y Teoría Objetivo 3

3 ÍNDICE Objetivo General Objetivos Específicos Ejemplos
Ejercicios Resueltos (ver presentación) Problemas propuestos

4 EJEMPLOS OBJETIVO 1 OBJETIVO 2 OBJETIVO 3 OBJETIVO 4 OBJETIVO 5
Índice

5 OBJETIVO GENERAL Al terminar esta Unidad resolverás ejercicios y problemas correspondientes a las rectas en el plano y sus ecuaciones. Índice

6 Objetivos específicos:
Recordarás a qué se llama sistema de coordenadas rectangulares, ejes coordenados y cuadrantes, y cómo se localizan los puntos del plano. Recordarás y aplicarás las fórmulas para determinar la distancia entre dos puntos cualesquiera del plano coordenado y las coordenadas del punto que divide a un segmento en una razón r. Recordarás la definición de pendiente de una recta y de línea recta. Índice

7 Objetivos específicos:
4. Recordarás y aplicarás las diferentes formas de la ecuación de una recta dadas dos condiciones que la definen. Recordarás y aplicarás la forma general de la ecuación de una recta y las condiciones necesarias y suficientes para las posiciones relativas entre dos rectas en el plano. Recordarás la definición y aplicaciones de la expresión de una recta en la forma normal y cómo obtenerla a partir de la forma general. Índice

8 Objetivo 1 Recordarás a qué se llama sistema de coordenadas rectangulares, ejes coordenados y cuadrantes, y cómo se localizan los puntos en el plano.

9 Una característica básica de la Geometría Analítica es el uso de un sistema coordenado. En los cursos de Álgebra y Trigonometría se ha utilizado el sistema de coordenadas rectangulares - llamado también sistema cartesiano en honor al filósofo y matemático René Descartes ( ) - que consiste en dos rectas, llamadas ejes, que se cruzan formando ángulos rectos. Generalmente un eje se coloca en forma horizontal y el otro vertical; el primero se llama eje de las abscisas y se representa con la letra x, y el segundo se denomina eje de las ordenadas y se representa con la letra y. El punto en que se cruzan las rectas define al origen del sistema EJE Y Eje X ORIGEN

10 Los ejes coordenados dividen al plano en que se trazan en cuatro partes llamadas cuadrantes, que se numeran del I al IV en sentido contrario a las manecillas del reloj. Los puntos que se encuentran en el primer cuadrante tiene abscisa y ordenada positivas. los puntos en el segundo cuadrante tienen abscisa negativa y ordenada positiva. En el tercer cuadrante tanto la abscisa como la ordenada son negativas, y en el cuarto cuadrante la abscisa es positiva y la ordenada negativa. I x > 0 y > 0 x II x < 0 y > 0 III x < 0 y < 0 IV x > 0 y < 0

11 EJEMPLOS OBJETIVO 1

12 EJEMPLO 1 Para localizar en el plano coordenado los puntos:
P1(2, –3); P2(–3, 0); P3(–2, 1); P4(2, –1), e indicar el cuadrante en que se encuentran se debe partir del origen y ubicar en primer lugar la abscisa en el eje horizontal – hacia la derecha del origen si es positiva, o hacia la izquierda si es negativa – y después, a partir de tal punto sobre el eje x, subir, o bajar, el número de unidades que indique la ordenada del punto – según sea positiva o negativa – siempre en forma paralela al eje y. Así, para ubicar el punto P1(2, -3), a partir del origen se debe avanzar hacia la derecha 2 unidades sobre el eje x, y de este punto bajar 3 unidades en paralelo con el eje y. El punto se localiza en el IV cuadrante. El punto P2(–3, 0) se encuentra retrocediendo 3 unidades desde el origen sobre el eje x y, como su ordenada es 0, no se separa de dicho eje. Del mismo modo, P3(–2, 1) se localiza 2 unidades a la izquierda del origen sobre el eje de las abscisas y subiendo una unidad en paralelo con el eje y. Finalmente, P4(2, –1) se encuentra 2 unidades a la derecha del origen y una unidad hacia abajo del eje x.

13 Los cuatro puntos mencionados se representan en la Figura

14 EJEMPLO 2 Si A(2, 2) y B(5, 2) son dos vértices de un cuadrado, se pueden encontrar las coordenadas de los otros dos vértices. (Dos soluciones posibles) Siempre es conveniente localizar los puntos en el plano cartesiano para visualizar las condiciones del problema y lo que se pide determinar

15 Como los puntos A y B tienen la misma ordenada, el lado que definen es paralelo al eje x y su longitud es de 3 unidades. Con esta información se pueden encontrar los otros dos vértices y, como se puede ver en la Figura una posibilidad es que se encuentren arriba de A y de B, en cuyo caso sus coordenadas se obtienen sumando la longitud del lado a la ordenada de los vértices conocidos: C(2, 2 + 3) = (2, 5) y D(5, 2 + 3) = (5, 5) O bien que se ubiquen hacia abajo, para lo cual se deberá restar la longitud del lado a las ordenadas de A y de B: C’(2, 2 – 3) = (2, –1) y D’(5, 2 – 3) = (5, –1)

16 EJEMPLO 3 Dados los puntos P1(1, –3) y P2(4, –3), es posible encontrar las coordenadas del punto con el que P1 y P2 forman un triángulo isósceles, en el que P2 sea el vértice de un ángulo recto. (Dos soluciones posibles) Un triángulo isósceles tiene dos lados iguales y, si además tiene un ángulo recto, los dos lados iguales son los que forman dicho ángulo. Por las coordenadas de los puntos y al representarlos en una gráfica, se encuentra que la longitud de los lados iguales es 4 – 1 = 3. Como P2 es el vértice del ángulo recto, el tercer vértice P3, se encuentra hacia arriba o hacia abajo de él, a 3 unidades de distancia. Por ello, las coordenadas de cada caso son: P3(4, –3 + 3) = (4, 0) ó P3(4, –3 – 3) = (4, –6)

17

18 EJEMPLO 4 Si se localizan los puntos (–5, –7) y (3, 9) y se unen con una recta y se hace lo mismo con los puntos (–3, 7) y (2, –8), a partir de la gráfica se pueden encontrar las coordenadas del punto donde se intersectan. ejemplos

19 OBJETIVO 2 Recordarás y aplicarás las fórmulas para determinar la distancia entre dos puntos cualesquiera del plano coordenado y las coordenadas del punto que divide a un segmento en una razón r.

20 a) Distancia entre dos puntos
a) Distancia entre dos puntos. Dados dos puntos cualesquiera del plano coordenado, uno de los siguientes tres casos puede ocurrir: 1. Que ambos puntos tengan la misma ordenada: A(x1, y1), B(x2, y1). La distancia entre tales puntos se determina tomando el valor absoluto de la diferencia de las abscisas:

21 2. Que los puntos tengan la misma abscisa: A(x1, y1), B(x1, y2)
2. Que los puntos tengan la misma abscisa: A(x1, y1), B(x1, y2). En este caso la distancia se obtiene tomando el valor absoluto de la diferencia de las ordenadas:

22 3. Que A y B sean dos puntos cualesquiera en el plano cartesiano: A(x1, y1), B(x2, y2). Para calcular la distancia entre ellos, considérese el punto C(x2, y1) que corresponde a la intersección de las rectas paralelas a los ejes x y y por los puntos A y B, respectivamente (Figura 2.3), con las que se forma un triángulo rectángulo y C es el vértice del ángulo recto. En la figura se observa que la distancia d que se busca es precisamente la hipotenusa del triángulo (d = c), por lo que se utiliza el Teorema de Pitágoras: “la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa”:

23 Valores que se sustituyen en la expresión del Teorema de Pitágoras:
Las longitudes de los catetos a y b se obtienen aplicando los casos 1. y 2. a= = y b = = Valores que se sustituyen en la expresión del Teorema de Pitágoras: Como al elevar al cuadrado se elimina la posibilidad de una distancia con signo negativo, la expresión queda como y al tomar la raíz cuadrada, dado que se trata de una distancia, sólo se considera la raíz cuadrada positiva ,

24 b) Coordenadas del punto que divide a un segmento en una razón dada.
Por razón se entiende un cociente de dos números expresado en forma de fracción común, por ejemplo: Cuando se dice que un punto P divide al segmento en la razón r, significa que lo cual se muestra gráficamente:

25 Si A(x1, y1) y B(x2, y2) son los extremos de un segmento , las coordenadas de un punto P que divide a este segmento en la razón dada son: Cuando P es el punto medio del segmento Y las fórmulas se reducen a

26 EJEMPLOS OBJETIVO 2

27 EJEMPLO 1 Encontrar la distancia entre los puntos: A(9, –2) y B(9, 11)
Como puede verse, los puntos tienen la misma abscisa, por lo tanto su distancia se encuentra aplicando la expresión del caso 2: = 13

28 EJEMPLO 2 Encontrar el perímetro del triángulo que determinan los puntos A(2, 2), B(0, 5) y C(–2, 2) El perímetro de un polígono es la suma de las longitudes de sus lados. La gráfica indica que el cateto que definen los puntos A y C es paralelo al eje x. Su longitud es la distancia entre ellos y se encuentra aplicando la fórmula del primer caso:

29 aproximadamente 11.21 unidades
Los otros dos lados del triángulo no son paralelos a alguno de los ejes, por lo que se debe aplicar la fórmula del caso 3 para encontrar su longitud: Estos resultados comprueban lo que se aprecia en la gráfica: el triángulo tiene dos lados iguales, por lo que es un triángulo isósceles, y su perímetro es: Perímetro = aproximadamente unidades

30 EJEMPLO 3 Encontrar el área del triángulo que forman los puntos A(-2, 2), B(1, 0) y C(0, 5) El área de un triángulo es la mitad del producto de la base por la altura. Al graficar los puntos se observa que, aparentemente, el vértice A corresponde a un ángulo recto, y en un triángulo rectángulo uno de los catetos es la base y el otro la altura, pero es necesario que se compruebe primero si efectivamente es un triángulo rectángulo. Por los datos disponibles esto se puede hacer mediante el Teorema de Pitágoras, comprobando que la suma de los cuadrados de los catetos sea igual al cuadrado de la hipotenusa:

31 y al aplicar el Teorema de Pitágoras:
Como en un triángulo rectángulo la hipotenusa es mayor que cualquiera de los catetos, se puede suponer que y al aplicar el Teorema de Pitágoras: 26 = Con lo que se demuestra que el triángulo efectivamente es rectángulo, y su área es igual a: = = 6.5 unidades =

32 EJEMPLO 4 El punto medio de un segmento sobre el eje x es (7, 0). Si uno de los extremos tiene abscisa 2, encontrar las coordenadas del otro extremo. Los datos del problema son las coordenadas de un extremo del segmento, el punto A(2, 0), y las del punto medio (7, 0). Se conocen el valor de x y el de x1 y se pide determinar el valor de x2, entonces: → B(12, 0) es el otro extremo del segmento.

33 EJEMPLO 5 Encontrar las coordenadas de los puntos de trisección del segmento que va de A(–2, 3) a B(6, –3) Los puntos de trisección son los que dividen al segmento en tres partes iguales, por lo tanto son dos puntos y por la definición de razón, el primer punto P1 se encuentra a una “parte” de distancia del punto A, inicio del segmento, y a 2 “partes” del punto B que es el final del segmento, por lo que = = Las coordenadas de P1 son: = = = = 1 = =

34 Para encontrar las coordenadas del segundo punto P2, se observa que ahora la distancia del punto extremo A a P2 es de 2 “partes” y de P2 a B es de una “parte”, y las coordenadas (x, y) del otro punto que divide al segmento son: = = = = P2

35 EJEMPLO 6 Si A(–4, 2) y B(4, 6) son los extremos de un segmento dirigido de A a B, encontrar las coordenadas del punto P que divide a este segmento en la razón r = –3 Como se verá en la representación gráfica, el punto P es externo al segmento, de ahí que la razón es negativa: = –3 = = = = Entonces P(8, 8) está fuera del segmento. ejemplos

36 Recordarás la definición de pendiente de una recta y de línea recta.
OBJETIVO 3 Recordarás la definición de pendiente de una recta y de línea recta.

37 Se llama ángulo de inclinación de una recta al ángulo que se forma por la parte positiva del eje x y la recta, cuando ésta se considera dirigida hacia arriba. Se designa por la letra griega α.

38 Se llama pendiente o coeficiente angular de una recta, a la tangente de su ángulo de inclinación. Se designa comúnmente por la letra m, por lo tanto m = tan α

39 Se llama línea recta al lugar geométrico de los puntos tales que, tomados dos puntos diferentes cualesquiera del lugar, el valor de la pendiente m resulta siempre constante. Dados los puntos y la pendiente se calcula como Por lo tanto, si es un punto cualquiera de la recta que pasa por y por la definición anterior las coordenadas del punto P satisfacen la ecuación y quitando el denominador se obtiene Esta expresión se llama forma punto – pendiente de la ecuación de una recta.

40 OBJETIVO 4 Recordarás y aplicarás las diferentes formas de la ecuación de una recta, dadas dos condiciones que la definen.

41 Una recta en particular tiene una pendiente dada, pasa por un número infinito de puntos, e intersecta a uno de los ejes coordenados en un punto específico, o a ambos en un punto a cada uno. Conocidas dos cualesquiera de estas condiciones, es posible determinar la ecuación de la recta que las cumple.

42 EJEMPLOS OBJETIVO 4

43 EJEMPLO 1 Determinar la ecuación de la recta que tiene pendiente –3 y pasa por el punto (11, –8). La ecuación de la recta que pasa por el punto P1 y tiene pendiente m está dada por la fórmula Entonces, la ecuación de la recta con pendiente –3 y que pasa por el punto P1(11, –8) se obtiene sustituyendo estos valores en la ecuación: la ecuación pedida es:

44 EJEMPLO 2 Determinar la ecuación de la recta cuyo ángulo que forma con el eje x es de 72 grados y pasa por el punto (1, 1)

45 Como la pendiente de la recta es la tangente del ángulo que forma con el eje x, se debe obtener el valor de la tangente de 72º para así disponer de dos características necesarias para determinar su ecuación: el valor de la pendiente y uno de los puntos por los que pasa. tan 72° = Se sustituyen en la forma punto – pendiente los valores de m y las coordenadas del punto: la ecuación pedida es:

46 EJEMPLO 3 Determinar la ecuación de la recta que pasa por los puntos
(4, 2) y (–5, 7)

47 El cálculo se puede realizar directamente en la fórmula sustituyendo la expresión de m:
Si se utiliza P1 para sustituir x1 y y1 en la ecuación: Y si se quita el denominador del segundo miembro para tener una ecuación con coeficientes enteros:

48 EJEMPLO 4 Determinar la ecuación de la recta que su pendiente es 1/7 y su intersección con el eje y se encuentra a 2 unidades del origen.

49 La expresión “su intersección con el eje y se encuentra a 2 unidades del origen” no precisa si es en la parte positiva o en la parte negativa del eje, por lo tanto, o bien el punto de intersección es P1(0, 2), o es P2(0, –2). Ya sea uno u otro punto, se cuenta con las dos condiciones necesarias para determinar la ecuación de la recta: la pendiente y un punto. Si el punto es P1(0, 2), la ecuación es Si esta ecuación se maneja de manera que en el primer miembro quede solamente la variable y, quedarán explícitos tanto el valor de la pendiente como la ordenada del punto donde la recta intersecta al eje y (esta intersección se denota por b y, en este caso, b = 2): se reacomoda de forma que aparezcan explícitamente la pendiente y la ordenada al origen, ahora b = –2, la ecuación es:

50 EJEMPLO 5 Determinar la ecuación de la recta determinada por los segmentos sobre los ejes x y y dados por 2 y –3 respectivamente. En este caso, a diferencia del ejemplo anterior, se da una cantidad positiva y la otra negativa, con lo que se entiende que el punto de intersección que define el segmento de 2 unidades es hacia el lado positivo del eje x, y el segmento de –3 unidades sobre el eje y es hacia abajo del origen.

51 Los puntos en los que la recta intersecta a cada eje son P1(2, 0) y P2(0, –3). Con ellos se emplea la forma dos puntos de la ecuación de una recta: Y tomando alguno, por ejemplo P1, la ecuación de la recta es:

52 EJEMPLO 6 Encuentra la ecuación de la recta en la forma simétrica, si los segmentos que determina sobre los ejes x y y son 2 y –3 respectivamente. Como se determinó en el ejemplo 5, los puntos de intersección con los ejes son (2, 0) y (0, –3) y se aplicó la forma dos puntos obteniendo:

53 Si se multiplica por 2 para tener sólo coeficientes enteros:
la forma simétrica se obtiene igualando a 1 la ecuación anterior, de modo que deberán dejarse los términos en x y en y en el primer miembro y dividir entre –6 toda la ecuación: Para que la ecuación muestre claramente las intersecciones con los ejes, conviene que en la segunda fracción se deje el signo menos en el denominador:

54 EJEMPLO 7 Encontrar la ecuación de la recta que pasa por los puntos (–3, 0) y (0, 5). Es claro que los puntos son sus intersecciones con el eje x y con el eje y, respectivamente. En el ejemplo anterior se comprobó que la forma de la ecuación de la recta que se puede utilizar directamente cuando se conocen sus intersecciones con los ejes coordenados, sin necesidad de pasar por la forma dos puntos, es la forma simétrica: a ≡ inters. con eje x, b ≡ inters. con eje y, Entonces, la ecuación que se pide es ejemplos

55 OBJETIVO 5 Recordarás y aplicarás la forma general de la ecuación de una recta y las condiciones necesarias y suficientes para las posiciones relativas entre dos rectas en el plano.

56 Generalmente la ecuación de una recta se expresa igualando a cero el segundo miembro. En los ejemplos del objetivo anterior, el resultado se daría como sigue: Ejemplo 1: Ejemplo 2: Ejemplo 3: Ejemplo 4: Ejemplo 5: Ejemplo 6: Ejemplo 7:

57 Una ecuación en una o dos variables de primer grado igualada a cero, se llama forma general de la ecuación de una recta. Su expresión genérica es: donde al menos uno de los coeficientes, A o B , debe ser diferente de cero y C puede o no ser cero. Esta expresión también se denomina ecuación lineal o función lineal. Dada una ecuación lineal en la forma general con B ≠ 0, al expresarla en la forma punto pendiente se encuentra que:

58 la pendiente m de la recta está dada por el cociente
y su ordenada al origen, b , es el cociente Si ahora se expresa en la forma simétrica para conocer sus intersecciones con los ejes coordenados: La intersección con el eje x es La intersección con el eje y es

59 Dadas dos rectas, uno y sólo uno de los siguientes casos puede ocurrir:
Las rectas son paralelas Las rectas son coincidentes (es la misma recta) Las rectas se cortan en uno y solamente un punto y, al cruzarse, el ángulo que forman es de 90º, por lo tanto son perpendiculares diferente de 90º

60 Dadas las rectas y , la(s) condición(es) necesaria(s) y suficiente(s) para estos casos son:
Paralelas Para esto se requiere que sus pendientes sean iguales, m = m΄. Dos rectas son paralelas si los coeficientes de x y y son proporcionales Coincidentes Para esto se necesita que tengan la misma pendiente y un punto común, es decir: m = m΄ Se intersecten en un punto y sólo uno: Formando un ángulo de 90º (rectas perpendiculares). Formando un ángulo diferente de 90 grados

61 EJEMPLOS OBJETIVO 5

62 EJEMPLO 1 Dada la ecuación de la recta , encontrar su pendiente y el punto de intersección con el eje y. Como la ecuación está dada en la forma general donde A = 6; B = –5; C = 18, la solución se encuentra aplicando las fórmulas anteriores. La pendiente de la recta es: = = Y el punto de intersección con el eje y: = =

63 EJEMPLO 2 Encontrar la pendiente de la recta , sus intersecciones con los ejes coordenados y representarla en el plano cartesiano. La ecuación de la recta no está en la forma punto - pendiente ni en la forma pendiente - ordenada al origen; de manera que lo más conveniente es expresarla en la forma general y aplicar las fórmulas para determinar la pendiente y las intersecciones con los ejes. Primero se debe multiplicar la ecuación por el denominador de la fracción y después igualarla a cero y reducir términos semejantes:

64 Con la ecuación de la recta en la forma general, donde A = 3; B = 6 y C = –10, se encuentra que
Para representarla en el plano se tienen los dos puntos sobre los ejes:

65 EJEMPLO 3 Indicar el lugar geométrico que determina la ecuación:
Se necesita reducir los términos semejantes de la ecuación efectuando las operaciones indicadas: Si se pasan todos los términos al primer miembro: Lo que se obtiene es la ecuación de una recta en la forma general Por tanto, la expresión representa una recta.

66 EJEMPLO 4 Encontrar el valor de k
para que la recta sea paralela a la recta Recordando que dos rectas son paralelas si los coeficientes de x y y son proporcionales, es decir,si → Si se toman los coeficientes de la primera recta como A y B: A = k y B = k – 1; y los de la segunda como A’ y B’: A’ = 4 y B’ = 3,

67 entonces Estos son los coeficientes de la primera recta: Se puede observar que los coeficientes de x y de y son iguales en las dos rectas y que Las rectas sólo difieren en el término independiente.

68 EJEMPLO 5 Determinar si las rectas R1 que pasa por los puntos (1, 1) y (4, 4) y R2 que pasa por (0, 4) y (3, 1) son perpendiculares entre sí. Se deben analizar los datos que se proporcionan para resolver el problema de la manera más eficiente. Si los datos fueran las ecuaciones de las rectas, lo más sencillo sería verificar si la condición se cumple o no. Pero como la información son dos puntos de cada recta, lo mejor es utilizar la condición de que las rectas serán perpendiculares si m = Entonces, = = = Por lo que y las rectas son perpendiculares.

69 EJEMPLO 6 La ecuación de la recta R1 es
Escribir la ecuación de todas las rectas paralelas a ella. Como se recordará, dos rectas son paralelas si sus pendientes son iguales, lo que significa que los coeficientes de x y de y son tales que: Si la ecuación de todas las rectas paralelas a R1 se representa como los coeficientes de R1 serán A’= 5 y B’= –7, de modo que →

70 Al sustituir A por su equivalente en
Que también puede expresarse como: es una constante arbitraria, se le puede llamar k y la ecuación anterior queda como Dado que Todas las rectas paralelas a R1: son aquellas que difieren de ésta únicamente en el término independiente.

71 EJEMPLO 7 Corroborar que las siguientes rectas son paralelas a R1: a)
Para comprobar que cada recta propuesta es paralela a R1 se debe encontrar una expresión equivalente de ella con los coeficientes de x y de y iguales a los de R1

72 Como 65 es múltiplo de 5 (ya que 65 = 5 x 13), lo siguiente es verificar si 91 es múltiplo de 7:
dado que las rectas son paralelas si los coeficientes de x y de y son proporcionales y tenemos: entonces: y las rectas son paralelas-

73 Ahora el coeficiente de x es 1; si esta recta es paralela a R1
Ahora el coeficiente de x es 1; si esta recta es paralela a R1. Por comodidad, puede encontrarse una expresión equivalente con coeficiente 5 (para eliminar la fracción en el coeficiente de y). Al multiplicar por 5 ambos miembros de la ecuación y simplificar, queda: Se obtiene que A = A’ , B = B’ y las rectas son paralelas.

74 Entonces, si se dividen ambos miembros de la ecuación por –
En este ejemplo es sencillo encontrar las operaciones que se deben efectuar para llegar a una ecuación equivalente con coeficiente 5 para x y –7 para y, al observar que el coeficiente de y en la ecuación es +4, lo que indica que –7 fue multiplicado por – Entonces, si se dividen ambos miembros de la ecuación por – que es equivalente a multiplicarla por ,se encuentra que: ejemplos Lo que corrobora que R1 y la recta propuesta son paralelas.

75 OBJETIVO 6 Recordarás la definición y aplicaciones de la expresión de una recta en la forma normal y cómo obtenerla a partir de la forma general.

76 La forma normal La forma normal de la ecuación de una recta se obtiene conociendo su distancia al origen, la cual se mide trazando una perpendicular - llamada normal - a la recta, desde el origen y el ángulo de inclinación de dicha normal. La distancia se designa por p y el ángulo por ω, como se ilustra en la Figura 6.1.

77

78 A partir de estos datos, la forma normal de la ecuación de una recta se escribe como
Donde p es un número positivo igual a la longitud de la normal, desde el origen hasta la recta, y ω es el ángulo positivo (menor de 360º), medido desde la parte positiva del eje x hasta la normal.

79 Teorema 1. La forma general de la ecuación de una recta,
puede reducirse a la forma normal dividiendo cada término por el radical: donde el signo que antecede al radical se elige de la siguiente manera: Si C ≠ 0, r es de signo contrario a C Si C = 0 y B ≠ 0, r es del mismo signo de B Si C = B = 0, r y A tienen el mismo signo

80 Teorema 2. La distancia d de una recta
a un punto dado P1(x1, y1,), puede obtenerse sustituyendo las coordenadas del punto en el primer miembro de la forma normal de la ecuación de la recta, es decir:

81 Teorema 3. La distancia dirigida d de la recta al punto P1(x1, y1) se obtiene de la fórmula
Además, Si la recta dada no pasa por el origen: d es positiva si el punto P1 y el origen están en lados opuestos de la recta o d es negativa si el punto P1 y el origen están del mismo lado de la recta Si la recta pasa por el origen: d es positiva si el punto P1 está arriba de la recta o d es negativa si P1 está abajo de la recta

82 EJEMPLOS OBJETIVO 6

83 EJEMPLO 1 Para encontrar la ecuación de una recta, si la longitud de su normal es 8 y su ángulo de inclinación ω = 60º se tienen los dos datos que se requieren para determinarla. Sólo hace falta calcular el valor del coseno y del seno de 60º, lo cual se puede hacer con ayuda de unas tablas o de una calculadora.

84 sen 60º = 0.866 cos 60º = 0.5 Al sustituir los valores correspondientes en la forma que tiene la ecuación normal se obtiene: Si se eliminan los denominadores, multiplicando por 2 a todos los términos, se obtiene la ecuación de la misma recta en su forma general:

85 EJEMPLO 2 La ecuación en la forma normal de la recta que es tangente en el punto (–3, 4) a una circunferencia con centro en el origen y radio 5, es posible auxiliarse con la figura que se muestra.

86 Como el radio que llega al punto de tangencia es perpendicular a la tangente, entonces la normal es el radio y p = 5. Por otra parte, puesto que el punto está en el segundo cuadrante es necesario tener en cuenta que, para 90º < ω < 180º: sen ω = sen (180º – ω) cos ω = – cos (180º – ω) Los valores del seno y del coseno de ω se obtienen directamente del triángulo cuyos vértices son el origen, el punto de tangencia (–3, 4) y el punto (–3, 0) que proyecta en el eje x el punto de tangencia. Ver figura.

87 y la ecuación en forma normal de la recta tangente
y cos ω = = sen ω = = y la ecuación en forma normal de la recta tangente al círculo en el punto (–3, 4) es: Para expresarla en la forma general conviene multiplicar por –5 para eliminar los denominadores y dejar el primer término positivo:

88 EJEMPLO 3 Para determinar la forma normal de la ecuación de la recta
basta aplicar la expresión del Teorema 1: y recordar que el signo del radical, si C ≠ 0, como en este caso, se elige contrario al de C, de modo que la ecuación de la recta en la forma normal es:

89 EJEMPLO 4 Encontrar la distancia de la recta
al punto(3, 2).Por el enunciado del problema donde se indica sólo la distancia (no dirigida), se debe utilizar el Teorema 2: donde A = 5, B = 12 y C = 60, en tanto que x1 = 3 y y1 = 2. Al sustituir estos valores en la expresión para d, se encuentra que: unidades lineales d = = =

90 EJEMPLO 5 Para encontrar la distancia entre las rectas R1: y R2:
Como se puede observar, R1 y R2 son paralelas porque los coeficientes de las variables x, y en la segunda ecuación son múltiplos de los respectivos coeficientes en la primera: 6 = 2(3), y –8 = 2( –4). Para aplicar el Teorema 2 y determinar la distancia entre ellas se necesita conocer un punto de alguna y aplicar la fórmula utilizando la ecuación de la otra. Puesto que es indistinto, se puede tomar a R1 para la ecuación y determinar un punto de R2 lo cual se logra dando un valor arbitrario a una de las variables.

91 Así, si se despeja y en la recta R2: se tiene:
. Ahora dando a x cualquier valor, por ejemplo x = 1: = Entonces, es un punto de la recta R2 y lo que sigue es aplicar la fórmula correspondiente para la distancia con la ecuación de R1:

92 Como A = 3, B = –4 , C = 8 y, además, x1 = 1, y1 = , al sustituir estos valores se obtiene:
La distancia entre las rectas R1: y R2: es de siete décimos (unidades de longitud).

93 EJEMPLO 6 La ecuación de la recta paralela a la recta
y distante 4 unidades de ella tiene dos soluciones posibles debido a que a cada lado de dicha recta se encuentra una paralela a 4 unidades de distancia. Dado que no se especifica cuál de las dos paralelas se busca, se debe aplicar el Teorema 3 considerando las dos posibilidades para d , es decir que sea igual a +4 o a –4 .

94 Los datos del problema son: A = 5, B = 12, C = -12
Los datos del problema son: A = 5, B = 12, C = -12. El punto P1(x1, y1,) se tomará como un punto cualquiera, arbitrario, de la recta buscada, tomará como Además, en la fórmula: se hará d = ±4, y el signo del radical será positivo puesto que C < 0. Sustituyendo los datos Al tomar el signo positivo la ecuación que resulta es: con el signo negativo: Entonces las ecuaciones de las dos rectas paralelas a y distantes 4 unidades de ella son y

95 EJEMPLO 7 En este ejemplo se mostrará cómo encontrar la ecuación de la bisectriz del ángulo que forman dos rectas. Sean las rectas R1: y R2: Encontrar la ecuación de la bisectriz del ángulo agudo entre ellas.

96 La bisectriz de un ángulo es la recta que lo divide en dos ángulos iguales.
Como se puede observar en la figura, las rectas al cruzarse definen dos ángulos suplementarios, uno menor de 90º y otro mayor de 90º; se pide encontrar la bisectriz del primero. Dado que los puntos de la bisectriz se encuentran a la misma distancia de ambas rectas, se debe aplicar el Teorema 3 teniendo en cuenta el signo de la distancia dirigida, según que los puntos de la bisectriz y el origen se encuentren del mismo lado o en lados opuestos con respecto a cada recta. Es suficiente con que se considere un punto arbitrario P(x, y) de la bisectriz, de manera que se cumpla la siguiente relación: Distancia del punto P(x, y) a R1 = Distancia del punto P(x, y) a R2

97 Del Teorema 3 y como las rectas no pasan por el origen, de la figura se determina que la distancia dirigida d es positiva para R1, porque el punto P y el origen se encuentran en lados opuestos de la recta. Lo mismo ocurre para R2; de manera que en el primer miembro de la ecuación se establecerá la distancia a R1, d > 0, y en el segundo miembro la distancia a R2, también, d > 0.

98 Tomando en cuenta que para R1, A=1, B=2, C= -3 y, para R2, A=1, B= -2, C= -2:
y por ser C ≠ 0 en ambas rectas, el signo del radical en cada miembro se elige contrario al de C. = al eliminar los denominadores queda: ejemplos Por tanto, la ecuación de la bisectriz pedida es