UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DEL ESTADO DE MÉXICO FACULTAD DE INGENIERÍA COORDINACIÓN DE MATERIAS PROPEDÉUTICAS INGENIERÍA ELECTRÓNICA ASIGNATURA: MÉTODOS NUMÉRICOS.

Presentación del tema: "UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DEL ESTADO DE MÉXICO FACULTAD DE INGENIERÍA COORDINACIÓN DE MATERIAS PROPEDÉUTICAS INGENIERÍA ELECTRÓNICA ASIGNATURA: MÉTODOS NUMÉRICOS."— Transcripción de la presentación:

1 UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DEL ESTADO DE MÉXICO FACULTAD DE INGENIERÍA COORDINACIÓN DE MATERIAS PROPEDÉUTICAS INGENIERÍA ELECTRÓNICA ASIGNATURA: MÉTODOS NUMÉRICOS Ajuste no lineal Regresión exponencial MARÍA DE LOS ANGELES CONTRERAS FLORES ABRIL 2015

2 Contenido O Guía explicativa O Objetivos O Introducción O Ajuste por mínimos cuadrados O Regresión exponencial mediante el principio de los mínimos cuadrados O Ejemplo O Bibliografía

3 Guía explicativa O Este material ha sido elaborado para el curso de Métodos Numéricos impartido en el la Facultad de Ingeniería. O El tema que aquí se presenta “Regresión Exponencial”, es visto en la Unidad III y corresponde a la parte de Ajuste de Curvas. O Su propósito es presentar un procedimiento diseñado para calcular el ajuste por mínimos cuadrados de una ecuación con datos que no tienen una tendencial lineal. O Para una adecuada comprensión del tema, es necesario que los alumnos tengan conocimientos previos de ajuste de funciones aplicando regresión por mínimos cuadrados.

4 Objetivos O Entender la deducción de la regresión lineal por mínimos cuadrados y ser capaz de evaluar la confiabilidad del ajuste mediante evaluaciones gráficas y cuantitativas. O Saber como linealizar datos empleando transformaciones. O Entender en que situaciones son apropiadas las regresiones no lineales.

5 Objetivos O Mejorar la capacidad para ajustar curvas a los datos. O Dominar técnicas y aprender a valorar la confiabilidad de los resultados. O Aplicar el método para solucionar cualquier problema específico.

6 Introducción O Cuando los datos analizados presentan errores sustanciales, no es adecuado aplicar interpolación polinomial, ya que al utilizar la función obtenida para predecir valores, los resultados pueden ser poco satisfactorios. Generalmente los datos experimentales son de este tipo. (Chapra, 2008)

7 Introducción O En estos casos, la estrategia más adecuada consiste en obtener una función de aproximación que se ajuste a la forma o a la tendencia general de los datos, sin coincidir necesariamente en todos los puntos. Figura 1. Datos que muestran un comportamiento no lineal

8 Ajuste por mínimos cuadrados Una forma para determinar la línea que se ajuste a los datos, es inspeccionar de manera visual los datos graficados y después trazar una “mejor” línea a través de los puntos. La desventaja de este procedimiento es que se apela al sentido común y solo son válidos para cálculos superficiales, razón por la cual llegan a ser deficientes. (Chapra, 2008) Figura 2. Ajuste de datos a una función no lineal

9 Ajuste por mínimos cuadrados O Para eliminar esta subjetividad, se debe obtener una curva que minimice la discrepancia entre los puntos y la curva. Una técnica apropiada es la regresión por mínimos cuadrados. O En la figura 3 se muestran algunos ejemplos de curvas adaptados a un conjuntos de datos, en esta imagen se aprecian ajustes tanto bien como mal adecuados.

10 Figura 3. Representación gráfica de ajustes de datos

11 Regresión no lineal Existen muchos casos en la Ingeniería donde los modelos no lineales deben ser ajustados a un conjunto de datos. Figura 4. Ejemplos de ajustes con comportamiento no lineal

12 Regresión exponencial mediante el principio de los mínimos cuadrados Fue Francis Galton (1822-1911) quien utilizó por primera vez el término regresión para indicar que, aunque influida por la estatura de sus padres, la estatura de los hijos "regresaba" a la media general. La regresión examina la relación entre dos variables, pero restringiendo una de ellas con el objeto de estudiar las variaciones de una variable cuando la otra permanece constante. En otras palabras, la regresión es un método que se emplea para predecir el valor de una variable en función de valores dados a la otra variable. Francis Galton

13 Regresión exponencial mediante el principio de los mínimos cuadrados O En todos los casos de regresión existe una dependencia funcional entre las variables. O Cuando se tienen dos variables, una de ellas (X) es la variable independiente y la otra (Y) la dependiente. En este caso se habla de una regresión de Y sobre X.

14 O En el tema que se esta presentando, la idea principal para llevar a cabo un nuevo ajuste consiste en transformar la curva exponencial en una recta a través de los logaritmos neperianos (Figura 5):

15 Linealización de una función no lineal Figura 5. Representación gráfica de la transformación de una función exponencial a una función lineal

16 Ejemplo de variable dependiente O Un caso se tiene con los ingenieros forestales, quiénes utilizan la regresión de la altura de los árboles sobre su diámetro, esto significa que midiendo el diámetro (variable independiente) y reemplazando su valor en una relación definida según la clase de árbol se obtiene la altura, aun sin necesidad de cálculos aprecian la altura utilizando gráficas de la función de dependencia: altura = función del diámetro

17 (1) (2)

18 (I)(I)

19 Ejemplo

20 Problema O Las cifras siguientes son datos sobre el porcentaje de llantas radiales producidas por cierto fabricante que aún pueden usarse después de recorrer cierto número de millas: Tabla 1. Porcentaje de llantas con vida útil y millas recorridas. Miles de Millas recorridas (X) 1251525303540 Porcentaje útil (Y)9995855530242015

21 1. Elaborar el diagrama de dispersión. 2. Ajustar una curva exponencial aplicando el método de mínimos cuadrados. 3. Calcular la ecuación predictora. 4. Graficar la ecuación predictora. 5. Estimar qué porcentaje de las llantas radiales del fabricante durarán 50,000 millas.

22 Solución

23 1.Graficar los puntos dados en la tabla 1 para obtener el diagrama de dispersión. Gráfica 1. Miles de millas recorridas y porcentaje de vida útil.

24 1991.9961 2951.97643.955 5851.929259.647 15551.74022526.105 25301.47762536.928 30241.38090041.406 35201.301122545.536 40151.176160047.044 2. Ajustar una curva exponencial aplicando el método de mínimos cuadrados. Obtener los valores indicados en el sistema de ecuaciones I y ordenarlos en la siguiente tabla:

25 2.1. Reemplazar los valores obtenidos en el sistema de ecuaciones I

26 2.2. Resolver el sistema de ecuaciones lineales para obtener los coeficientes:

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28 3. Obtener la ecuación predictora, reemplazando los resultados del paso anterior en la siguiente ecuación:

29 4. Graficar la ecuación predictora. Se calculan los valores de y para el ajuste exponencial obtenido y los valores de x dados: xy=106.536*(0.952^x) 1101.422272 296.55400294 583.30692969 1550.93902317 2531.1472778 3024.35593679 3519.04537728 4014.89273021

30 Gráfica 1. Ecuación predictora

31 5. La estimación del porcentaje de llantas radiales que durarán 50000 millas se obtiene reemplazando en la ecuación predictora el valor de X = 50

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33 Bibliografía 1. Gutiérrez R. José, (2010), “Análisis Numérico”, McGrawHill, 1ª. Edición. 2. Richard L. Burden, J. Douglas Faires, (2009g), “Análisis Numérico”, Thomson, 7ª Edición. 3. Steven C. Chapra, Raymod P. Canale, (2007), “Métodos Numéricos para Ingenieros”, Mc Graw Hill, 5ª Edición. 4. http://www.ugr.es/~jllopez/Ajustes.pdf http://www.ugr.es/~jllopez/Ajustes.pdf 5. http://www.monografias.com/trabajos89/regresion- exponencial-metodo-minimos-cuadrados/regresion- exponencial-metodo-minimos- cuadrados.shtml#ixzz3DFtoH9ge http://www.monografias.com/trabajos89/regresion- exponencial-metodo-minimos-cuadrados/regresion- exponencial-metodo-minimos- cuadrados.shtml#ixzz3DFtoH9ge