CÁLCULO DE ÁREA

ÁREA BAJO UNA CURVA Pasos a seguir para el cálculo del área bajo la curva:

  MÉTODOS: Rectángulos horizontales:     El procedimiento anterior depende de que, en cada intervalo de integración, la curva "de arriba" es la misma y la curva "de abajo" también. A continuación se muestra una situación en donde esto no se cumple. Observa las siguientes gráficas. 

Observa que en el intervalo [-1,3] no se cumple que la curva "de arriba" sea la misma. En [-1,2] la curva de arriba es y=x-1 , mientras que en [2,3] la curva de arriba es y=(3-x)1/2.

En la gráfica anterior dibujamos un rectángulo horizontal de base X2 - X1 y de altura y. X2 es el valor de x dado por la curva de la derecha (x=3-y2) y X1 es el valor de x dado por la curva de la izquierda (x=y+1). En esta situación la curva de la derecha siempre es la misma y la curva de la izquierda también es la misma para todos los rectángulos horizontales desde y=-2 hasta y=1. y=1 Entonces el área entre las curvas es igual a [3 - y2 - (y+1)].dy y=-2 Si integramos con respecto a "y" la diferencia (3-y2) - (y+1) entre y=-2 hasta y=1, entonces encontramos que: Área entre las curvas = 9/2 Nota: El problema anterior pudo haber sido resuelto con rectángulos verticales (integración con respecto a "x") pero hubiéramos tenido que calcular el área en dos partes. Primero en [-1,2] y luego

INTRODUCCIÓN Para calcular la integral definida, aplicando el Teorema Fundamental del Cálculo, es preciso obtener previamente una integral indefinida. Aunque se conocen diversos métodos para hallar la integral indefinida de una cantidad considerable de funciones, existen funciones para las cuales estos métodos no son aplicables. Este inconveniente se supera haciendo uso de la integración numérica. La integración numérica permite evaluar la integral definida de una función continua en un intervalo cerrado con la exactitud deseada. En este apartado vamos a estudiar dos métodos de integración numérica: la Regla del trapecio y la Regla de Simpson.

MÉTODO DEL TRAPECIO La regla del trapecio compuesto o regla de los trapecios es una forma de aproximar una integral definida utilizando n trapecios. En la formulación de este método se supone que f es continua y positiva en el intervalo [a, b]. De tal modo la integral definida representa el área de la región delimitada por la gráfica de f y el eje x, desde x=a hasta x=b. Primero se divide el intervalo [a, b] en n subintervalos, cada uno de ancho Δx = (b − a) / n. Después de realizar todo el proceso matemático se llega a la siguiente fórmula Donde y n es el número de divisiones. La expresión anterior también se puede escribir como:

Ejemplo Primero se obtiene h, de los límites de la integral que representan a y b y para n=6 queda Y ahora se sustituye en la formula = y queda

MÉTODO DE SIMPSON.   Uno de los problemas matemáticos más frecuentes es el cálculo del área que se forma al graficar una función. Por ejemplo, se necesita calcular el área A que aparece en la siguiente figura:

en donde la función f(x) y los valores a y b son conocidos en donde la función f(x) y los valores a y b son conocidos. En este tipo de problemas se pueden obtener dos tipos de soluciones: Soluciones algebraicas: se obtiene una fórmula precisa y exacta para el área solicitada. Soluciones numéricas: se calcula numéricamente una estimación del área. Desde luego, la soluciones algebraicas son mejores que las numéricas, porque son exactas. Pero a veces, la complejidad de las funciones hace imposible (o difícil) obtener la solución algebraica, por lo que una solución numérica permite ahorrar tiempo.

El método de Simpson. En este procedimiento, se toma el intervalo de anchura 2h, comprendido entre xi y xi+2, y se sustituye la función f(x) por la parábola que pasa por tres puntos (xi, yi), (xi+1, yi+1), y (xi+2, yi+2). El valor del área aproximada, sombreada en la figura, se calcula con un poco más de trabajo y el resultado es:

La simple inspección visual de esta figura y la que describe el procedimiento de los trapecios nos confirma que el método de Simpson deberá ser mucho más exacto que el procedimiento del trapecio. El área aproximada en el intervalo [a, b] es bien, agrupando términos El primer paréntesis, contiene la suma de los extremos, el segundo, la suma de los términos de índice impar, y el tercero la suma de los términos de índice par. En el método de Simpson, el número de divisiones n debe de ser par. En el caso de que el usuario introduzca un número impar el programa lo convierte en el número par siguiente.

Ejemplo: Usando la regla de Simpson con n=2 y n=4 aproximamos: cuyo valor exacto es  correcto al número de cifras mostradas. Para n=2 tenemos que h= (2-1)/2=0.5, x0=1, x1=1.5, x2=2. Ahora Con n=4 tenemos h= (2-1)/4=0.25, x0=1, x1=1.25, x2=1.5, x3=1.75, x2=2, de modo que