Definición de Relación y de Función Relación es la correspondencia de un primer conjunto, llamado Dominio, con un segundo conjunto, llamado Rango, de manera que a cada elemento del Dominio le corresponde uno o más elemento del Recorrido o Rango. Una relación de A en B es cualquier subconjunto de A x B. Si A x B = { (1 ; 2), (1 ; 3), (2 ; 2), (2 ; 3) } Entonces: R 1 = { (1 ; 2) } R = { (x ; y) / x  y ; x  A, y  B} R = { (2 ; 2) } R = 

Una Función es una relación a la que se añade la restricción de que a cada valor del Dominio le corresponde uno y sólo un valor del recorrido. (Todas las funciones son relaciones, pero no todas las relaciones son funciones) Sean A y B dos conjuntos no vacíos. Una función F de A en B (f = A  B) es un conjunto de pares ordenados tal que todos los elementos de A debe tener un único elemento en B.

Ejemplos:

NOTACIÓN:

FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL Son aquellas funciones cuyo dominio y rango es un subconjunto de R. Ejemplo: f =  0 ; 1   R f : R  R DOMINIO: Dom (f) = { x / (x ; y)  f } RANGO: Ran(f) = { y / (x ; y)  f }

REGLA DE CORRESPONDENCIA Es aquella ecuación que nos permite relacionar los elementos del dominio con los elementos del rango. Ejemplo: y = x f = { (x ; y) / x  A  y  B }

Ejemplo: f (5) = 5 2 f (4) = 4 2 f (2) = 2 2 Entonces: f (x) = x 2 ; x  {2 ; 4 ; 5}

Grafica de una función real en variable real La grafica de una función “f” es la representación geométrica de los pares ordenaos que pertenecen a la función. Gra(f) = { (x ; y)  R 2 / y = f (x) ; x  Domf } Ejemplo: f (x) = x 3 Dom f = R

TEOREMA: Sea f : R  R Si toda recta paralela al eje “y” corta a la grafica a lo más en un punto, dicha grafica será la representación de una función. NOTA:Generalmente una función estará bien definida cuando se especifique su dominio y regla de correspondencia.

FUNCIONES ESPECIALES FUNCIÓN CONSTANTE Regla de Correspondencia : Dom f = R Ran f = {c }

FUNCIÓN IDENTIDAD Regla de Correspondencia: Dom f = R Ran f = R

FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO Regla de Correspondencia: Dom f = R ; Ran f =  0 ; +  Sea y = |x|, tabulando:

FUNCIÓN LINEAL Regla de Correspondencia: Pendiente de la recta Dom f = R ; Ran f = R Observación: * Si la pendiente (m) es negativa, la recta se inclina hacia la izquierda. Si la pendiente (m) es positiva, la recta se inclina hacia la derecha.

FUNCIÓN CUADRÁTICA : ; a  0 Completando cuadrados podemos darle la siguiente forma: ; a  0 Donde: V = (h ; k) es el vértice de la parábola. Si: a > 0 la parábola se abre hacia arriba. Si: a < 0 la parábola se abre hacia abajo. A continuación analicemos la grafica de esta función, teniendo como referencia a su discriminante.

A.PRIMER CASO Si A > 0, la grafica de la parábola podría tener cualquiera de las siguientes formas: 1 x 1, x 2 son las raíces reales y diferentes de f (x). Ran f =  k ; +  ; observar que el mínimo valor de la función es k Dom f = R

2 x 1, x 2 son las raíces reales y diferentes. Ran f =  -  ; k , observar que el máximo valor de la función es k.

Ran f =  0 ; +  Dom f = R Donde x 1 ; x 2 son las raíces reales e iguales. Ran f =  -  ; 0  Dom f = R Segundo Caso Si + = 0, la grafica podría tener cualquiera de las siguientes formas:

Observar que la parábola no interfecta al eje real “x” por lo tanto no existen raíces reales Ran f =  k ; +  Ran f =  -  ; k  Tercer Caso Si + < 0, la grafica de la parábola podría tener cualquiera de las siguientes formas :

Función Raíz Cuadrada: La función f (x) = √x es la función raíz cuadrada. Su gráfica es como sigue: Su dominio es [0,  ) y el recorrido es [0,  ).