Hola buen día, espero que disfrutes la clase El Telescopio espacial Hubble Atentamente Prof. Moy 29 de Octubre, 2011

FRACCIONES Y FRACCIONES DECIMALES Considerando sólo las divisiones verticales continúas: 2 5 Considerando además las verticales punteadas: 4 10 Agregando la horizontal punteada: 8 20 La idea de las fracciones decimales es que siempre se admita como división la de diez partes, que en el ejemplo es la segunda; y que si se quiere otra más fina no se valga pasar a una como la que está en tercer lugar, sino que se salte hasta la de 100 divisiones

FRACCIONES DECIMALES De esta manera la parte sombreada en una partición más fina, sería: 40 100 Y si continuáramos con la siguiente partición, nos quedaría: 400 1000 y así podríamos continuar. Definición: Una fracción de la forma 𝑝 10 𝑛 , donde p es un entero y n es un natural, se llama fracción decimal. También se admite como tal a una de la forma 𝑝 1 , para mantener el modelo aceptaremos que 100 = 1. Por lo tanto, lo que distingue a una fracción decimal de otras que no lo son es su denominador, tiene que ser una potencia de 10

Otra forma de representar fracciones decimales Regla P (inicial de punto) Una fracción decimal puede representarse escribiendo su numerador y separando sus cifras con un punto, llamado punto decimal, de tal forma que a su derecha quede un número de cifras igual al exponente que tiene el 10 en el denominador. Si las cifras no fueran suficiente, se completan con ceros escritos entre el punto y las cifras disponibles. Ejemplos: = 0.00852 (el cero a la izquierda del punto puede omitirse). A la inversa: 41.23 =

Ejemplos Escribir en notación decimal: i) ii) iv) iii) Escribir en forma de fracción común: i) 220.431 = ii) 14.06 = iii) 0.87645 =

SUMA DE DECIMALES CON PUNTO Las fracciones decimales son, claro, fracciones, lo que quiere decir que se operan como ya hemos visto Y si sumamos como se suman enteros, cuidando que al acomodar los sumandos en columnas queden alineados los puntos decimales y que en la misma línea quede el punto en la suma

CONVERSIÓN DE FRACCIONES COMUNES A FRACCIONES DECIMALES Tomemos por ejemplo las fracciones De entrada estas fracciones no son fracciones decimales , pero es posible hallar fracciones decimales equivalentes a ellas ACTIVIDAD: Realizar las que faltan

A manera de resumen Teorema: Sólo se pueden expresar como fracciones decimales aquellas fracciones cuyo denominador tiene como factores primos exclusivamente: 2, 5 o ambos. Subrayamos, si además de estos números aparecen otros primos en el denominador, no será posible la expresión en forma decimal

Segunda interpretación: La división con residuo Ahora veremos a 𝑥 𝑦 como 𝑥÷𝑦, es decir, como la operación indicada. Hasta aquí, siempre que hemos hablado de división, nos hemos referido a algo que podemos llamar con más propiedad división exacta:  x  y = z significa que y  z = x   De esta forma la diferenciaríamos de la llamada división con residuo por ejemplo:

División con residuo La división con residuo es otra forma de transformar fracciones en fracciones decimales, cuando esto es posible Procedimiento de la división con residuo: Se multiplica el divisor y el dividendo por la potencia que convierta al dividendo en entero. El punto decimal del cociente se coloca alineado con el punto decimal del divisor. Se efectúa la división con residuo tal como ésta se realiza con números naturales cuando esta división es posible (cuando es exacta, se acostumbra decir).

Ejemplos A la vez de división y de conversión de una fracción en fracción decimal.

Aproximaciones decimales y fracciones periódicas sólo unas pocas fracciones se pueden expresar como fracciones decimales y que pasa con las demás combinaciones. Se puede observar que si continuamos, simplemente se seguirán repitiendo las cifras 2 y 7, o mejor dicho se repetirá el bloque de cifras 27 . El guión colocado encima de las cifras es para indicar que no es el número 27 sino un bloque de las dos cifras 2 y 7, en ese orden, se dice que el bloque es el periodo de 3  11, o de 3 11 =0. 27

Aproximaciones decimales y fracciones periódicas 1 7 → → 1 7 =0. 142857 3

FRACCIONES COMPUESTAS El guión “–” de quebrado juega el mismo papel que el símbolo , es decir; Así que, esto nos lleva a que si 𝑝 𝑞 𝑦 𝑟 𝑠 son fracciones, entonces: El numerador del resultado es el producto de los extremos y su denominador es el producto de los medios.

Situaciones de las fracciones compuestas

Ejemplos de fracciones compuestas Las fracciones compuestas, se pueden caracterizar como cocientes indicados de fracciones y la principal tarea con ellas es reducirlas a fracciones comunes tan simples como se pueda.

Ejemplos de fracciones compuestas ó Actividad: Realizar las operaciones indicadas

Convertir un decimal periódico a fracción común Ejemplo: 1 Sea 𝑎 = 0. 7 multiplicamos esto por 10 10𝑎=7. 7 a esto le restamos la expresión original 10𝑎−𝑎=7.7777−0.77777 9𝑎=7 Por lo que 𝑎= 7 9

Convertir un decimal periódico a fracción común Ejemplo: 2 Sea 𝑐=4.15 243 si primero multiplicamos por 100 100𝑐=415. 243 ahora multipliquemos por 1000 100 000=415243. 243 a esto le restamos la expresión anterior 99 900 𝑐=415239 Así que, 𝑐= 415239 99 900 = 138 413 33 300 Actividad: hallar los números racionales

Propiedad de densidad de las fracciones Dados dos enteros, ¿cuántos enteros existen entre ellos?. Pues depende de cuáles sean los enteros. Si son 3 y 9 la respuesta es 5; si son −2 y 0 sólo hay uno; si son 2 y 3 no hay tales enteros.  Ahora, dadas dos fracciones, ¿cuántas fracciones hay entre ellas?

Propiedad de densidad de las fracciones ¿Cuántas fracciones hay entre 3 2 y 15 2 ? ¿Cuántas fracciones hay entre 1 4 y 5 2 ? ¿Cuántas fracciones hay entre 1 4 y 2 4 ? ¿Qué fracción esta a continuación de 1 2 ? Propiedad de Densidad de las Fracciones: Entre dos fracciones cualesquiera siempre hay una infinidad de otras fracciones Dada una fracción no existe una fracción que le siga inmediatamente   Teorema: Si 𝑥 1 y 𝑥 2 son fracciones, una fracción que esta en medio de ellas es 𝑥 1 + 𝑥 2 2

LOS NÚMEROS RACIONALES La no unicidad de: neutros aditivos: , etc. Neutros multiplicativos: Inversos aditivos: dado entonces sus inversos: inversos multiplicativos de 3 4 : 4 3 , −4 −3 , 8 6 , …

LOS NÚMEROS RACIONALES Definición: Se le llama número racional a cada fracción simplificada totalmente y con denominador positivo, el conjunto de todas ellas se representa por Q. Definición: El conjunto de los números racionales es: En particular, la frase “fracciones equivalentes” tiene un significado bien definido, mientras que “racionales equivalentes” no tiene sentido

Los números racionales Damos una lista de fracciones, se han resaltado las que son números racionales  Nota: Para nuestros propósitos solamente en unas pocas ocasiones será conveniente distinguir entre fracción y número racional, e incluso no será indispensable, puedes seguir trabajando sin esta complicación, repetimos, de carácter teórico; pero no sobra recordar que la distinción en cuestión se reduce a diferenciar entre fracción y fracción simplificada, cosa que se hace con el propósito de mantener el concepto original de sistema numérico.

Muchas gracias y por favor sean felices la Galaxia del Sombrero, dista unos 28 millones de años luz, se considera la mejor fotografía tomada por Hubble Atentamente Profr. Moy 29 de Octubre, 2011