METODOS DE APROXIMACIÓN DE CÁLCULO DE ÁREA INTEGRANTES: VIVIANI LEANDRO H. MAJEVSKI ALEJANDRO GRUPO: ¨MAJEVI 3° MATEMÁTICA

Lo que haremos es calcular el área debajo de una curva a través de distintos métodos de aproximación, en nuestro caso calcularemos el área bajo la curva en el intervalo [-1;2]. Los métodos que aplicaremos para calcular el área debajo de la curva son: Método de la suma de Riemann que consiste en inscribir y circunscribir polígonos debajo de la curva f(x) en el intervalo [a; b] lo que significa que la región de área que calcularemos está limitada por la grafica de la función [en que f(x)›0], las líneas verticales x=a y x=b y el eje x.

Al ir inscribiendo y circunscribiendo polígonos, nos iremos aproximando cada vez más al área debajo de la curva, teniendo en cuenta distintos números de rectángulos observaremos que para n=3,6 al parecer la aproximación mejorara mas y mas a medida que los rectángulos van aumentando. Debemos tener en cuenta que si los rectángulos están inscritos en el recinto el área se irá aproximando por defecto, y si circunscribimos los rectángulos el área se irá aproximando por exceso, siempre teniendo en cuenta el valor de n que es el número de rectángulos que se tiene en el intervalo [a; b].

Regla del Punto Medio, con frecuencia elegimos como el extremo derecho del i-ésimo subintervalo porque es cómodo para calcular el límite. Pero si el objeto es hallar una aproximación a una integral, por lo general es preferible que sea el punto medio del intervalo, que se representa Este método es una consecuencia del promedio de las aproximaciones por derecha y por izquierda de la suma de Riemann. Regla del Trapecio, la causa del nombre de esta regla se debe a la figura formada dentro del recinto.

Entonces según el cálculo de área de un trapecio y teniendo en cuenta el i-ésimo subintervalo, tenemos: y si sumamos las áreas de esos trapezoides obtenemos: Que representa la regla del trapecio, que en conclusión queda:

Regla de Simpson, es otra regla para aproximar resultados de integración, emplea segmentos parabólicos en lugar de segmentos de recta. Al igual que en los métodos anteriores se toma una partición en el intervalo [a; b] en n subintervalos de igual longitud, pero esta vez supondremos que n es un número par. Su fórmula es :

Aplicando propiedades matemáticas nos queda Aplicamos límite a cada termino

Como hemos visto a lo largo del desarrollo del trabajo los distintos métodos de aproximación tienen similitudes y diferencias, primeramente que el cálculo del incremento de x tienen igual fórmula para calcularlo, teniendo en cuenta obviamente el número de “n” que va cambiando para cada caso, excepto que sea el n-esimo término. Una diferencia se nota en lo engorroso que es el cálculo de aproximación mediante el método de Riemann y no es así para los otros métodos,

otra diferencia que debemos tener muy en cuenta es que con cada método la aproximación al valor del área es cada vez mejor, o sea con mayor exactitud, por ejemplo con el método del trapecio el error del cálculo es infinitesimal mientras que con el método de Simpson el error es casi nulo, pues da justamente el valor área que si la calcularemos mediante integrales.