CONJUNTOS NUMÉRICOS

1.Números Naturales 1.1 Consecutividad numérica 1.2 Paridad e imparidad 1.3 Números primos 1.4 Múltiplos y divisores 1.5 Mínimo Común Múltiplo y Máximo Común Divisor 1.6 Operatoria en los naturales Conjuntos Numéricos 2. Números Enteros 2.1 Operatoria en los enteros 2.2 Propiedades 2.3 Prioridad de las operaciones

3.Números racionales (Q) 3.1 Propiedades de los racionales 3.2 Operatoria en los racionales 3.3 Transformaciones de números racionales 3.4 Comparación de fracciones 4. Números irracionales (Q*) 5. Números reales ( IR ) 6. Números imaginarios ( II ) 7. Números complejos ( C ) 3.5 Secuencia numérica

1. Números Naturales ( N ) 1.1 Consecutividad numérica Conjunto de la forma: IN = {1, 2, 3, 4, 5, …}, conjunto infinito. Todo número natural tiene un sucesor, y se obtiene sumando 1 al número, es decir: Sucesor Si n pertenece a IN, su sucesor será n + 1.

n - 1n + 1n Naturales Consecutivos Antecesor: Todo número natural (exceptuando el 1), tiene un antecesor, y se obtiene al restar 1 al número, es decir: Si n pertenece a IN, su antecesor será n - 1 antecesorsucesor

1.2 Paridad e imparidad Números Pares {2, 4, 6, 8, 10……, 2n} Son de la forma 2n, con n en los naturales. Sucesor par:Se obtiene sumando 2 al número. Si el número es 2n, entonces su sucesor es 2n+2. Antecesor par:Se obtiene restando 2 al número. Si el número es 2n, entonces su antecesor es 2n-2. 2n - 22n + 22n Antecesor parSucesor par

Se obtiene sumando 2 al número. Si el número es 2n-1, entonces su sucesor es 2n+1. Números Impares {1, 3, 5, 7, 9……,2n-1} Son de la forma 2n-1, con n en los naturales. Sucesor impar: Antecesor impar: 2n - 32n + 12n -1 Antecesor imparSucesor impar Se obtiene restando 2 al número. Si el número es 2n-1, entonces su antecesor es 2n-3.

1.3 Números Primos Son aquellos números que son sólo divisibles por 1 y por sí mismos: { 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29…} Nota: E l 1 no es primo. 1.4 Múltiplos y Divisores Múltiplos Se llama “múltiplo” de un número, aquel que se obtiene al multiplicar dicho número por otro cualquiera. Por ejemplo: 5, 10, 15, 20 son múltiplos de 5.

Divisores Se llama “divisor” de un número, aquel valor que lo divide exactamente. (Está contenido en él, una cantidad exacta de veces) Por ejemplo: Los divisores de 24 son los números que lo dividen exactamente: {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 y 24} Nota: El 5 no es divisor de 24, ya que al dividir 24 por 5 resulta 4,8.

1.6 Operaciones en IN Adición, sustracción, multiplicación y división Propiedades de la Adición: a) Cierre: b)Conmutativa: Si a y b son números naturales, entonces se cumple que: La suma de dos números naturales es siempre un natural. Por ejemplo: = a + b = b + a

c) Asociativa: Si a, b y c son números naturales, entonces se cumple que: a + (b+c) = (a+b) + c Ejemplo: 13 + (5+9) = (13+5) (14) =(18) = 27 Nota: En los naturales no existe neutro aditivo. Propiedades de la Multiplicación: a)Cierre: El producto de dos números naturales es siempre un natural.

4 ∙ (15) = (20) ∙ 3 Si a y b son números naturales, entonces se cumple que: Por ejemplo: 4 ∙ (5 ∙ 3) = (4 ∙ 5) ∙ 3 Por ejemplo: 34∙5 = 5∙34 a (b ∙ c) = (a ∙ b) c b)Conmutativa: c) Asociativa: Si a, b y c son números naturales, entonces se cumple que: Nota: El elemento neutro de la multiplicación es el 1. a∙b = b∙a 170 = = 60

2. Números Naturales + 0 ( N 0 ) Conjunto de la forma: IN 0 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, …}, conjunto infinito. 2.1 Operaciones en IN 0 Adición, sustracción, multiplicación y división Si a es un número cardinal, entonces: En este conjunto se cumplen las mismas propiedades que en los naturales. La diferencia es que incluye al cero, y por tal razón posee “elemento neutro aditivo”. a + 0 = 0 + a = a

3. Números Enteros (Z) Conjunto de la forma: Z = {…, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …}, infinito. Se puede representar como: Z = Z - U IN 0 Z = Z - U {0} U Z + Recta numérica: Z-Z- Z+Z

Valor absoluto: El valor absoluto de un número representa la distancia desde ese número al origen (cero de la recta numérica). Por ejemplo, la distancia del 5 al origen es cinco unidades, igual que la distancia del -5 al origen. La notación es: |5| = 5 y |-5| = unidades Luego, |-20| = 20|34| = 34|-12| = 12…

3.1 Operaciones en Z Al realizar sumas, restas, multiplicaciones y divisiones en los enteros, debemos considerar algunas reglas con respecto a los signos: Si a y b son números enteros entonces,se cumple que: a) a + (-b )= a – b Ejemplo: 5 +(- 9) = 5 – 9 = -4 Ejemplo: b) a – (-b) = a + b 12 – (-8) = = 20

c) Al sumar enteros de igual signo, éste se mantiene. Ejemplo: = +33 d) Al sumar enteros de distinto signo, se calcula la diferencia entre sus valores absolutos, conservando el signo del de mayor valor absoluto. Ejemplo: = = +66 (-5) + (- 9) = -14

-42 ∙ -8 = e) Si a y b son dos números enteros de igual signo (positivos o negativos), entonces: - El producto y el cociente entre ellos es positivo. f) Si a y b son dos números enteros de distinto signo, entonces: - El producto y el cociente entre ellos es negativo. Ejemplo: 28 : 7 = : -5 = ∙ -5 = -185

3.2 Propiedades La suma de números enteros cumple con la propiedad Conmutativa y Asociativa. Ejemplo: (-3) + 2 = 2 + (-3) -1 = -1 La suma en los números enteros tiene “elemento neutro”: el cero. Ejemplo: (-8)+ 0 = -8

3.3 Prioridad en las operaciones Tanto en los números naturales como en los enteros, hay operaciones que tienen prioridad sobre otras. Existe un orden para resolver ejercicios como: : = ? ¿Qué se resuelve primero? El orden para ejecutar las operaciones que involucran paréntesis y operaciones combinadas es: 1° Paréntesis 2° Potencias 4° Adiciones y sustracciones 3° Multiplicación y/o división (de izquierda a derecha)

4.Números Racionales ( Q ) Es el conjunto de todos aquellos números que se pueden escribir como el cociente de dos números enteros (fracción), es decir: a b / a y b son enteros, y b es distinto de cero Q = Ejemplos: 2; 17; 0; -6; -45; -2; 7 0,489;2,18;-0,647 -1;-1; 8 14 ; 3 15, 0 NO es racional a: numerador y b: denominador Recuerda que no se puede dividir por 0

Por ejemplo: 3 es Natural (3 IN ), y como 3 =, 3 es racional (3 Q ). 3 1 IN IN 0 Z Q Todo número entero es racional.

Diagrama representativo:

4.1 Propiedades de los racionales Amplificar y simplificar fracciones Ejemplo: 2∙2∙ 3∙3∙ Amplificar una fracción, significa multiplicar, tanto el numerador como denominador por un mismo número. 6 6 Al amplificar la fracción por 6 resulta: 2 3 = 12 18

Ejemplo: Simplificar una fracción, significa dividir, tanto el numerador como denominador por un mismo número. 3 3 = 9 15 Al simplificar la fracción por 3 resulta: : 45 : Inverso multiplicativo o recíproco de una fracción El inverso multiplicativo, o recíproco de 2 9 es: 9 2 Ejemplo:

4.2 Operatoria en los racionales Suma y resta Ejemplos: 1. Si los denominadores son iguales: = Si uno de los denominadores es múltiplo del otro: = 2∙3 + 7∙1 45 = = = y

3. Si los denominadores son primos entre sí: = 5∙3 + 7∙ == Aplicando mínimo común múltiplo (m.c.m.): = 4∙8 + 5∙ == 67 40

-4 5 ∙ 8 7 = = Multiplicación: Ejemplo: = ∙ = División: Ejemplo: -4 5 : 7 8 = Número Mixto: Ejemplo: = 8∙ = 43 5

4.3 Transformación de números racionales (pág. 24 del libro) De fracción a decimal: Ejemplo: Se divide numerador por denominador. 7 4 = 1,75 De decimal finito a fracción: Ejemplo: El numerador corresponde al número sin coma, y el denominador es una potencia de 10 que depende del número de decimales que tenga el número = 1,75 = ∙7 25∙4 =

De un número decimal periódico a fracción: 1.El numerador de la fracción es la diferencia entre el número decimal completo, sin la coma, y la parte entera. 2.El denominador está formado por tantos nueves (9), como cifras tenga el período. Ejemplo 1: 2,35 = 235 – 2 = Ejemplo 2: 0,376 = 376 – 0 =

3,21 = = De un número decimal semi periódico a fracción: 1.El numerador de la fracción corresponde a la diferencia entre el número decimal completo, sin la coma; y la parte entera incluyendo las cifras del ante período. 2.El denominador queda formado por tantos nueves (9), como cifras tenga el período, y seguido de tantos ceros (0), como cifras tenga el ante período. Nota : Se llama “ante período” a los números que hay entre la coma, y el período. Ejemplo:

4.4 Comparación de fracciones (pág. 25 del libro) Multiplicación cruzada: Ejemplo: Al comparar(Multiplicando cruzado) y 13 ∙ 10 y 15 ∙ y 135 Como 130 < 135, entonces: <

Igualar denominadores: Ejemplo: Al comparar y (Igualando denominadores) 13∙4 15∙4 7∙5 12∙5 y y Como 52 > 35, entonces >

Transformar a decimal: Ejemplo: Al comparar(Transformando a decimal)y =0, … 7 12 =0, … > Como 0,86 > 0,583, entonces

Ejemplo: En la secuencia: 6, 5 16, 5 26, 5 36,... 5 ¿Qué número tendríamos que sumar a para obtener el 7° término ? 1, 5 De acuerdo a las características de la secuencia, el 7° término es Tendríamos que sumar a para obtener el 7° término , 5 65 = 13 5 Es decir: Respuesta: 4.5 Secuencia Numérica

Observación: La secuencia anterior también se puede analizar de la siguiente manera: 1 + 1, , , , … 5..., 1°2°3°4°..., 7°… Lo que nos permitiría saber, por ejemplo, ¿cuál es el valor del n-ésimo término de la secuencia? Respuesta: Es, más un número impar, lo que se expresa como: (2n - 1) 5 (Con n = posición del término)

Son aquellos que NO se pueden escribir como una fracción (decimales infinitos NO periódicos). 5. Números Irracionales ( Q* ) Q* = Q U

6. Números Reales ( IR ) Es el conjunto formado por la unión entre los números racionales y los números irracionales. IR = Q U Q* Ejemplos: Diagrama representativo: 3,-89,-2; 7 2,18; 23,491002

7. Números imaginarios ( II ) Todos aquellos números que NO son reales, son imaginarios. IR U II = O Ejemplo: Raíces de índice par y parte subradical negativa:

8. Números complejos ( C ) Es el conjunto formado por la unión entre los números reales y los números imaginarios. Ejemplos: 5, -68, -1;-1; 8 -0,647 Diagrama representativo:

Los contenidos revisados anteriormente los puedes encontrar en tu libro, desde la página 14 a la 28.