Integrales definidas. Teoremas 2º Bachillerato Presentación elaborada por la profesora Ana Mª Zapatero a partir de los materiales utilizados en el centro (Editorial SM)
Esquema
Área bajo una curva Suponiendo f(x) acotada y positiva, la región limitada por la gráfica de f y el eje OX en el intervalo [a, b] se denota por R(f; [a, b]).
Sumas de Riemann Como la función es contínua en cada intervalo existen un mínimo y un máximo (Tª de Weiersstra) Sea mi el mínimo de f(x) en Ii = [xi-1, xi] Las sumas inferiores(suma de los rectángulos) s(f; Pn) = m1 . x1 + m2 . x2 + ... + mn . xn Sea Mi el máximo de f(x) en Ii = [xi-1, xi] Las sumas superiores (suma de los rectángulos superiores) se expresan así S(f; Pn) = M1 . x1 + M2 . x2 + ... + Mn . xn Cualquiera de los valores s(f; Pn) o S(f; Pn) es una aproximación al área R(f; [a, b] )
Error que se comete al tomar una por otra Cálculo de áreas En multitud de problemas que se presentan en Ciencia y Tecnología es preciso calcular el área encerrada por varias curvas. Este problema pasa por encontrar el área limitada por una curva y = f(x), el eje OX y las abscisas entre los valores x = a, x = b. Inicialmente calcularemos el área mediante aproximaciones Error que se comete al tomar una por otra
Integral definida Cuando se aplica el proceso anterior a cualquier función (no necesariamente positiva) en el intervalo [a, b] obtenemos las sumas superiores e inferiores de Riemann sobre la partición Pn. Sea mi el mínimo de f(x) en Ii = [xi-1, xi] s(f; Pn) = m1 . x1 + m2 . x2 + ... + mn . xn Sea Mi el máximo de f(x) en Ii = [xi-1, xi] S(f; Pn) = M1 . x1 + M2 . x2 + ... + Mn . xn
Integral definida y área bajo una curva I f(x) R f(x) f(x) 0 x[a, b] f(x) 0 x[a, b]
Integral definida y área bajo una curva II Si f(x) toma valores positivos y negativos en el intervalo [a, b], se calculan cada una por separado y se suman los resultados teniendo en cuenta los signos.
Propiedades de la integral definida
Propiedades de la integral definida
Función área o función integral Dada una función f(x) continua y positiva en [a, b], se define la función integral F(x) como la función que mide el área sombreada bajo f. Se representa por:
Teorema del valor medio: interpretación geométrica Enunciado: Si f es continua existe c[a,b] en el que Interpretación geométrica (para funciones positivas) Entre los rectángulos abB'A (rojo) y abBA‘(azul) existe un rectángulo intermedio (verde) que tiene la misma área que el área del recinto R(f; [a, b]). La altura de este rectángulo es precisamente f(c). Por tanto R1 = R2
Teorema del valor medio para integrales b m M c Demostración: área pequeña < A.curva < área grande ¡¡Atención!! Puede haber varios puntos, en los que la función alcanza el valor medio.
Teorema fundamental del cálculo. Interpretación geométrica Sea f una función continua, positiva y creciente en el intervalo (a,b). Sea F la función que mide el área sombreada hasta x. En el límite cuando h tiende a cero, F’(x) coincide con f(x) X Y x x+h área pequeña < A.curva < área grande
Teorema fundamental del cálculo Enunciado: Sea f una función continua, positiva y creciente en el intervalo (a,b). La función F que mide el área sombreada hasta x, es la primitiva de f, es decir F’(x) = f(x). Dem.: a c b Si h tiende a 0 c tiende a x por lo que f(x)=F’(x)
Por tanto F(b) = = G(b) - G(a) Regla de Barrow Demostración: Como F(x) (función de áreas) es también una primitiva de f(x) en [a, b], F(x) y G(x) se diferencian en una constante: por tanto F(x) = G(x) + C. Como F(a) = 0 C = – G(a). Por tanto F(x) = G(x) – G(a). Para x = b, F(b) = G(b) – G(a). Por tanto F(b) = = G(b) - G(a)
El método de «cambio de variable» para integrales definidas 30 69 Ejemplo: õ ô ó – 5 8 x ( 5 + x 2 ) dx = Cambio u = 5 + x2 = g(x) du = 2xdx g(–5) = 30 ; g(8) = 69
Área del recinto limitada por una función – + X Y f(x) c d e a b R
Área del recinto limitado por dos funciones
Área del recinto limitado por dos curvas: ejemplo Calcula el área de la región limitada por las curvas y = x3 – 6x2 + 9x e y = x. R 2 4 y = x3 – 6x2 + 9x y = x ( ) 4 2 x3 +6x2-9x dx x + - ò