Métodos de Análisis Ingenieril Raíces de Ecuaciones M.C. Fco. Javier de la Garza S. Cuerpo Académico Sistemas Integrados de Manufactura Gama.fime.uanl.mx/~jdelagar fime_tareas@yahoo.com

Raíces de Ecuaciones De la ecuación Pero en otros casos

Solución de Ecuaciones no lineales Intervalo Falsa Posición Bisección Gráfica Métodos Abiertos Newton Raphson Secante Todos Interactivos

Métodos de Intervalos Se requieren dos valores iniciales. Estos valores deben dar resultados con signo distinto al aplicarlos a la ecuación. Si una raíz de una función real y continua f(x)=0 esta entre dos valores x=xl, x =xu entonces f(xl) * f(xu) < 0. (La función cambia de signo) Insert Fig. 5.1 in here

Sin respuesta (no hay raíces) Sencillo (una raíz) Dos raíces Tres raíces

Dos raíces Función discontinua. Requiere otro método

Muchas raíces f(x)=sin 10x+cos 3x

Método de Bisección Para una ecuación de una variable, f(x)=0 Elegir xl y xu de forma que la raíz de interés quede en medio, revisar si f(xl)*f(xu) <0. Estimar la raíz evaluando f[(xl+xu)/2]. Encontrar la pareja de valores Si f(xl)*f[(xl+xu)/2]<0, la raíz se encuentra en el intervalo inferior, entonces xu=(xl+xu)/2 e ir al paso 2.

Si f(xl)*f[(xl+xu)/2]>0, la raíz está en el intervalo superior, entonces xl= [(xl+xu)/2, ir al paso 2. Si f(xl)*f[(xl+xu)/2]=0, entonces la raíz es (xl+xu)/2 y terminamos. Comparar es con ea Si ea< es, detener. De lo contrario repetir el proceso.

Evaluación del Método Ventajas Sencillo Siempre encuentra la raíz Se puede calcular el número de iteraciones requeridas para obtener un error absoluto. Desventajas Lento Conocer que entre a y b esta la raíz Multiples raíces No se toma en cuenta f(xl) y f(xu), Si f(xl) esta cerca de cero, es probable que la raíz este cerca de xl .

¿Cuántas iteraciones se necesitan? Longitud inicial Lo=b-a Iteración 1 L1=Lo/2 Iteración 2 L2=Lo/4 Iteración k Lk=Lo/2

Si la magnitud absoluta del error es: y Lo=2, ¿Cuántas iteraciones se requieren para obtener la exactitud requerida en la solución?

Método de la Falsa Posición Si una raíz real esta entre xl y xu de f(x)=0, entonces se puede aproximar la solución haciendo una interpolación lineal entre los puntos [xl, f(xl)] y [xu, f(xu)] para encontrar xr valor que hace l(xr)=0, l(x) es la aproximación lineal de f(x).

Procedimiento Encontrar un par de valores de x, xl y xu tales que fl=f(xl) <0 y fu=f(xu) >0. Estimar el valor de la raíz de la siguiente fórmula y evaluar f(xr).

Utilizar el nuevo punto para reemplazar uno de los originales manteniendo ambos puntos en lados opuestos del eje x. Si f(xr)<0 entonces xl=xr = > fl=f(xr) Si f(xr)>0 entonces xu=xr = > fu=f(xr) Si f(xr)=0 se a encontrado la raíz

Ventajas de este método Más rápido Revisar si los nuevo xl y xu están tan cerca para declarar convergencia. Si no lo están, regresar al paso 2. Ventajas de este método Más rápido Siempre converge para una sola raíz. Nota: Siempre se debe revisar el valor estimado de la raíz en la ecuación original para validar que f(xr) ≈ 0.