Reseña Histórica Realizar la elaboración y la comprensión de un concepto concreto de las aplicaciones de integrales definidas, implica la necesidad de revisar los caminos que ésta ha recorrido a través del tiempo, y las aplicaciones que de esta devienen en la actualidad, y para ello es que, desde aquí se propone analizar los distintos aspectos en cuanto a su utilización, es decir, mediante su aplicación directa. Sin olvidar las antiguas concepciones que la fundaron. Historia del Cálculo de la Integral El origen del cálculo integral se remonta a la época de Arquímedes ( a.C.), matemático griego de la antigüedad, que obtuvo resultados tan importantes como el valor del área encerrada por un segmento parabólico. La derivada apareció veinte siglos después para resolver otros problemas que en principio no tenían nada en común con el cálculo integral. El descubrimiento más importante del cálculo infinitesimal (creado por Barrow, Newton y Leibniz) es la íntima relación entre la derivada y la integral definida, a pesar de haber seguido caminos diferentes durante veinte siglos. Una vez conocida la conexión entre derivada e integral (teorema de Barrow), el cálculo de integrales definidas se hace tan sencilla como el de las derivadas.

Los creadores del Análisis Infinitesimal introdujeron el Cálculo Integral, considerando los problemas inversos de sus cálculos. En la teoría de fluxiones de Newton la mutua invisibilidad de los problemas del cálculo de fluxiones y fluentes se evidenciaba claramente. Para Leibniz el problema era más complejo: la integral surgía inicialmente como definida. No obstante, la integración se reducía prácticamente a la búsqueda de funciones primitivas. La idea de la integración indefinida fue inicialmente la dominante. Según Euler el Cálculo Integral constituía un método de búsqueda, dada la relación entre los diferenciales o la relación entre las propias cantidades. La operación con lo que esto se obtenía se denominaba integración. El concepto primario de tal Cálculo, por supuesto, era la integral indefinida. El propio Cálculo tenía el objetivo de elaborar métodos de búsqueda de las funciones primitivas para funciones de una clase lo más amplia posible. El cálculo integral, encuadrado en el cálculo infinitesimal, es una rama de las matemáticas en la que se estudia el proceso de integración o anti derivación, es muy común en la ingeniería y en la matemática en general y se utiliza principalmente para el cálculo de áreas y volúmenes de regiones y sólidos de revolución.

Saberes previos: Sumas de Riemman; Sumas de Riemman; Integrales Definidas Integrales Definidas Propiedades de las Integrales Definidas; Propiedades de las Integrales Definidas; Teorema Fundamental de Cálculo; Teorema Fundamental de Cálculo; Métodos de cálculos por aproximación de Integrales Definidas; Métodos de cálculos por aproximación de Integrales Definidas; Método del Punto Medio; Método del Punto Medio; Método del Trapecio; Método del Trapecio; Método de Simpson. Método de Simpson.

Reconocer el uso de la integral definida en las situaciones problemáticas propuestas; Graficar teniendo en cuenta el eje de rotación; Aplicar de manera comprensiva los distintos métodos de integración teniendo en cuenta las gráficas obtenidas; Validar el cálculo integral realizado, mediante los métodos de aproximación; Operar de manera correcta el Software determinado (GeoGebra) Valorar la opinión de los iguales (compañeros) dada en clase;

Pero primero te sugerimos que resuelvas la secuencia de actividades porque te va a permitir estudiar acerca de las distintas aplicaciones de la integral definida. Eso va a significar un aporte teórico–práctico para resolver el cada situación planteada.

ApliCacioNes de la InteGraL DefiNida Tema:

Cálculo de Área entre curvas

Cálculo de Volumen de sólido de revolución

Cálculo de Longitud de arco de curva

Cálculo de Superficie de Sólido de revolución

MÉTODOS DE APROXIMACIÓN: superficielongitud volumensuperficiesólido Dada una función f(x) continua en [ a; b ], en la que se pretende aplicar la integral definida para calcular ya sea superficie entre curvas, longitud de arco, volumen de algún sólido de revolución o la superficie de ese sólido, los métodos de aproximación se usan indistintamente, y ellos son:

ACTIVIDAD 1)

Sea A el espacio bidimensional (superficie) entre dos curvas f (x) y g (x), donde p y q son los puntos de intersecciones de ambas funciones y, a; b el intervalo de esos puntos. El cálculo de A viene dado por la fórmula:

ConSignAs Dadas las funciones f (x 1 ) =X 2 y f (x2) = x a)Grafícalas en un sistema de ejes cartesianos; b)Encuentra los puntos de intersección analíticamente y de forma gráfica; c)Evalúa qué función limita superiormente y cuál inferiormente; d)Utiliza la fórmula dada para calcular el espacio bidimensional entre ellas; e)Marca la superficie entre ellas; f)Verifica el cálculo integral con el método de aproximación que te permita hallar el menor error posible. Puntuación: 2,50 puntos

ACTIVIDAD 2)

Sea V el espacio tridimensional del sólido de revolución (volumen) que es engendrado por la superficie entre dos curvas f (x) y g (x), donde a y b son los puntos de intercesión de ambas funciones y [a; b] es el intervalo formado por esos puntos. La aplicación de alguna de las fórmulas depende del gráfico obtenido cuando la superficie gira alrededor su eje

El cálculo de V viene dado por la aplicación de una de las fórmulas Método del los Cascarones Cilíndrico

ConSignAs Dadas las funciones f (x 1 ) =X 2 y f (x2) = x, que gira alrededor del eje x a)Grafícalas en un sistema de ejes cartesianos; b)Encuentra los puntos de intersección analíticamente y de forma gráfica; c)Evalúa de qué sólido se trata y la característica que posee; d)Utiliza el método te permite calcular el volumen del sólido engendrado; e)Marca los rectángulos que te permitan graficar los cilindros o arandelas de aproximación; f)Verifica el cálculo integral con el método de aproximación que te permita hallar el menor error posible. Puntuación: 2,50 puntos

ACTIVIDAD 3)

Sea L el espacio unidimensional de la curva de la f (x), donde a y b son los puntos de intercesión de ambas funciones. El cálculo de V viene dado por la fórmula:

ConSignAs Dadas las funciones f (x 1 ) =X 2 y f (x2) = x a)Grafícalas en un sistema de ejes cartesianos; b)Encuentra los puntos de intersección analíticamente y de forma gráfica; c)Evalúa cómo puedes calcular el perímetro de la superficie formada por las funciones; d)Utiliza la fórmula para calcular ese perímetro; e)Verifica el cálculo integral con el método de aproximación que te permita hallar el menor error posible. Puntuación: 2,50 puntos

ACTIVIDAD 4)

Cuando se habla de superficie de sólido de revolución se habla de la superficie que recubre a ese sólido. Cuando el sólido se genera con una sola función, esa superficie se halla aplicando: Cuando el sólido se genera con una sola función

Cuando el sólido se genera con la intersección de dos funciones, esa superficie se halla aplicando:

ConSignAs Dadas las funciones f (x 1 ) =X 2 y f (x2) = x a)Grafícalas en un sistema de ejes cartesianos; b)Encuentra los puntos de intersección analíticamente y de forma gráfica; c)Evalúa cómo puedes calcular la superficie del sólido formado por las funciones; d)Marca los rectángulos que te permitan graficar los cilindros o arandelas de aproximación; e)Utiliza la fórmula para calcular esa superficie; f)Verifica el cálculo integral con el método de aproximación que te permita hallar el menor error posible. Puntuación: 2,50 puntos

Escala Insuficiente hasta 4 debe mejorar Entre 5 y 7 Cumplió con las expectativas Entre 8 y 9 Excelente 10 Aspectos a evaluar presentación muy simple y sencillaBásica y elementalSe adecúaRespeta las consignas ContenidosPoco material, marco teórico Contenidos Mínimos Correcta selección Significativos y relacionados Actitud Poco compromiso y organización Necesidad de reafirmar Trabajo colectivo, paulatino y responsable Trabajo colectivo, paulatino y responsable Y permite asesoría

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Ojeda Lucas Gabriel Rodriguez, Juan Marcelo AUTORES: