VIII ENCUENTRO DE EDUCADORES DE CIENCIA Y TECNOLOGÍA “La producción de conocimiento de Matemática en el aula” Lic. Beatriz Ressia de Moreno Mar del Plata Mayo 2011

Nos ubicamos en una perspectiva según la cual la matemática es un producto cultural y social.

¿Qué es estudiar matemáticas? Una idea muy corriente es aquella que postula que las Matemáticas no tienen que ser producidas sino descubiertas.

Uno bio-genético y el otro socio-cultural. Son muy diferentes pero parten de un postulado común: los conceptos, los conocimientos, las culturas están consideradas como dadas y se transmiten a los herederos bajo la forma de don natural o capital socio-cultural. Sobre la metáfora de la mirada se inscriben dos discursos interpretativos:

A esta idea de una matemática dada, bajo una u otra forma, contrapongo la idea de una matemática construida. La actividad matemática no es mirar y descubrir, es crear, producir, fabricar. (Charlot)

Hacer matemática no consiste en una actividad que permita a un pequeño grupo de elegidos por la naturaleza o por la cultura, el acceso a un mundo muy particular por su abstracción. Hacer matemáticas, es un trabajo del pensamiento, que construye los conceptos para resolver problemas, que plantea nuevos problemas a partir de conceptos así construidos, que rectifica los conceptos para resolver problemas nuevos, que generaliza y unifica poco a poco los conceptos en los universos matemáticos que se articulan entre ellos, se estructuran, se desestructuran y se reestructuran sin cesar.

Democratizar la enseñanza de la matemática supone en principio que se rompa con una concepción elitista de un mundo abstracto que existiría por sí mismo y que sólo sería accesible a algunos y que se piense en cambio, la actividad matemática como un trabajo cuyo dominio sea accesible a todos mediante el respeto de ciertas reglas.

¿Qué es estudiar matemáticas? Mi respuesta global será que estudiar matemáticas es efectivamente HACERLAS en el sentido propio del término, construirlas, fabricarlas, producirlas, ya sea en la historia del pensamiento humano o en el aprendizaje individual. (Charlot)

Desde la enseñanza clásica, el saber matemático aparece para el alumno no como un sistema de conceptos que permiten resolver problemas sino como un gran discurso codificado, normalizado, simbólico, "abstracto".

Esta separación entre la actividad matemática y sus resultados, entre los problemas y los conceptos, engendra un fracaso escolar importante. Explican este fracaso, diciendo que las matemáticas son difíciles porque son abstractas y resuelven que a los alumnos con dificultades escolares hay que enseñarles las matemáticas partiendo de lo concreto.

En síntesis, si el aprendizaje de las matemáticas es actualmente difícil no es porque las matemáticas son abstractas, sino porque este aprendizaje no está basado en la actividad intelectual del alumno sino en la memorización y aplicación de saberes de los que el alumno no ha comprendido realmente el sentido.

El punto de partida de la actividad matemática no es la definición sino el problema.

Para que una situación constituya un problema para los alumnos, es necesario que: Implique un cierto desafío intelectual: permita abordarla apelando a los conocimientos disponibles pero que, a su vez, éstos no sean totalmente suficientes para hallar de manera inmediata la solución. Requiera una toma de decisiones por parte de los alumnos, habiliten diferentes resoluciones posibles.

Para que una situación constituya un problema para los alumnos, es necesario que: Se desarrolle un interjuego entre los procesos de resolución y un análisis acerca de lo realizado. La resolución requiera apelar a propiedades de los objetos matemáticos; es decir, que no baste con la comprobación empírica. En otros términos, que el problema ponga en interacción al alumno con objetos que no pertenecen al mundo natural, sino a un mundo conceptualizado representado por “seres” matemáticos.

Para que una situación constituya un problema para los alumnos, es necesario que: La validación de la respuesta dada al problema -es decir la decisión autónoma del alumno acerca de la verdad o falsedad de la respuesta- no se establezca empíricamente, sino que se apoye en las propiedades de los objetos matemáticos. Las argumentaciones a partir de las propiedades conocidas de los objetos matemáticos, produzcan nuevo conocimiento acerca de los mismos.

El contexto en el que se proponen los problemas y la producción de conocimientos Hacer aparecer cada noción matemática como una herramienta para resolver problemas, es lo que permitirá a esos alumnos construir el sentido del conocimiento en juego. Es la búsqueda de las soluciones a los problemas y las reflexiones sobre los mismos, lo que genera los conocimientos. La matemática ha producido y produce herramientas para resolver problemas de la vida cotidiana; problemas inherentes a otras ciencias, por ejemplo la arquitectura, la física, la economía, etc.; y también, herramientas para resolver problemas internos a la matemática misma.

Desde este enfoque un sujeto sabe matemática si ha podido construir el sentido de los conocimientos que se le enseñan. Construir el sentido de un conocimiento, implica dos niveles:  Un nivel sintáctico (o interno) que permite comprender el funcionamiento de una determinada noción, por ejemplo: cómo es la organización y la regularidad de la serie numérica; qué relaciones hay que establecer para contar objetos utilizando la serie; cómo funciona un algoritmo (por qué “me llevo” o por qué “le pido al de al lado”); por qué esa cuenta lleva al resultado buscado; etc.  Un nivel semántico (o externo) que le permite al sujeto reconocer qué tipo de problemas resuelve ese conocimiento, para cuáles otros no es adecuado,

Esto significa otorgar a ese conocimiento el rango de un saber reutilizable aún en contextos diferentes del contexto que le dio origen, constituyéndose de ese modo en herramienta Los Matemáticos, comunican el saber fuera de todo contexto, buscando la manera más general, despersonalizada, atemporal posible, para que pueda ser integrado al edificio matemático (Brousseau, G., 1986).

Se aprende por necesidad y carencia: Se aprende por adaptación a un medio que ofrece resistencia.

Los alumnos, para transformar sus respuestas y conocimientos en saber deberán, con la ayuda del maestro, al resolver diferentes situaciones en donde el conocimiento sea herramienta, redespersonalizar y redescontextualizar el saber que ha construido en un contexto particular, para poder reconocer en lo que ha hecho, algo que tenga carácter universal, un conocimiento cultural reutilizable (Brousseau, G. 1986).

La actividad matemática que potencialmente un problema permitiría desplegar no está contenida en el enunciado del problema, sino que depende sustancialmente de las interacciones que a propósito del problema se pueden generar. En tal sentido, considerando la clase como una “comunidad de pequeños matemáticos”, la enseñanza de la demostración requiere de una negociación que permita a los alumnos aceptar nuevas normas, nuevas reglas, que no son para nada naturales, y que no siempre son consideradas objetos de una enseñanza.

Pensamos que si no hay validación de la actividad que se realiza, no hay matemática, sea cual sea el año escolar del que se trate. Lo que se propone la enseñanza de las matemáticas no es simplemente la transmisión de conocimientos matemáticos, sino, más globalmente, la transmisión de una cultura. Se trata de que los alumnos entren en el juego matemático". Artigue (1986):

Construir un triángulo ABC. Ubicar el punto medio M sobre el lado AB y trazar la mediana. ¿Cuál de los dos triángulos AMC y CMB tiene mayor área? B M C A

¿Qué es necesario saber para trabajar en Matemática? La actividad matemática no es simplemente buscar la respuesta correcta. Es también la elaboración de hipótesis, de conjeturas que son confrontadas con otras y testeadas en la resolución del problema. Las discusiones sirven como retroacción del trabajo hecho, como un elemento de descentralización del propio pensamiento, de esa manera se va desplazando la responsabilidad de la validación del docente hacia los alumnos.

La recompensa al problema resuelto no es la solución del problema, es su éxito personal al resolverlo por sus propios medios, es la imagen que puede tener de si mismo como alguien capaz de resolver problemas de hacer matemáticas, de aprender.

¿Cuáles son los elementos fundamentales que dan vida a la comunidad de investigación matemática? ¿Pueden trasladarse al plano didáctico sin desnaturalizar su sentido? Las reglas o los principios del debate científico en clase de matemáticas, requieren de un sistema de condiciones para permitir a los alumnos de una clase practicar, una parte esencial del trabajo del científico: “emitir y resolver hipótesis”, trabajar sobre definiciones y pruebas con el fin de ampliar, a través de ello y dentro de la comunidad científica en la que participan (la clase), el patrimonio de los objetos matemáticos y de sus propiedades.

La práctica de este modo de hacer matemática, debería progresivamente permitir a los alumnos descubrir: – que tener ideas “inteligentes” no está reservado a otros. – que tener ideas está bien pero hay que conseguir formularlas, hacerlas comprensibles para los demás. – que lo más importante en la resolución de un problema no consiste en precipitarse a dar la solución “correcta” sino más bien llegar a plantearse las preguntas correctas”, ver en qué sentido el problema es más sencillo o más difícil de lo que había parecido al principio.

La práctica de este modo de hacer matemática, debería progresivamente permitir a los alumnos descubrir: – que cuando no hemos comprendido algo, se nos plantean paradojas o contradicciones porque hemos planteado mal el problema, no nos encontramos solos en este caso; a veces somos diez, a veces cincuenta, a veces incluso todo el mundo se encuentra en esta situación. Y si nadie se atreve a admitirlo, a hacerlo saber, perdemos una ocasión formidable para progresar y comprender. – que no hay nada de humillante en ser el autor de un razonamiento erróneo porque las situaciones de búsqueda que se proponen en clase no tienen como objetivo demostrar lo que ya se sabe sino hacernos penetrar nuevas problemáticas: saber de qué hablamos, qué es exactamente y qué no es, conocer los razonamientos que funcionan y los que nos hacen caer en un círculo vicioso.

Una enseñanza de este tipo no puede establecerse y perdurar más que en un clima de confianza, de respeto y de estima recíproca; el profesor debe, poco a poco, ejercer su autoridad para establecer el respeto a la toma de la palabra.

Hay muchas formas de conocer un concepto matemático, éstas dependen de todo lo que una persona haya tenido la oportunidad de realizar con relación a ese concepto. Es éste un punto de partida fundamental para pensar la enseñanza: El conjunto de prácticas que despliega un alumno a propósito de un concepto matemático construirá el sentido de ese concepto para ese alumno.

“...No se trata sólo de enseñar los rudimentos de una técnica, ni siquiera los fundamentos de una cultura científica: la matemática en este nivel es el primer dominio –y el más importante– en que los niños pueden aprender los rudimentos de la gestión individual y social de la verdad. Aprenden en él –o deberían aprender en él– no sólo los fundamentos de su actividad cognitiva, sino también las reglas sociales del debate y de la toma de decisiones pertinentes; cómo convencer respetando al interlocutor; cómo dejarse convencer contra su deseo o su interés; cómo renunciar a la autoridad, a la seducción, a la retórica, a la forma, para compartir lo que será una verdad común... Soy de los que piensan que la educación matemática, y en particular la educación matemática de la que acabo de hablar es necesaria para la cultura de una sociedad que quiere ser una democracia...” (Brousseau, G. 1989)

¡Muchas Gracias!