Secciones Cónicas.

Presentación del tema: "Secciones Cónicas."— Transcripción de la presentación:

1 Secciones Cónicas

2 SE LLAMAN SECCIONES CÓNICAS PORQUE PROVIENEN DE LA INTERSECCIÓN DE UN CONO CON UN PLANO.

3 1. Circunferencia: Es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya distancia a otro punto llamado CENTRO es constante, a dicha distancia se llama RADIO.

4 Ejercicio: La ecuación de la circunferencia de centro (a,b)
Y radio r en forma REDUCIDA es: La ecuación de la circunferencia en forma DESARROLADA es: Ejercicio: Calcula la ecuación de la circunferencia que tiene centro en el punto C=(3,0) y cuyo radio mide 3cm.

5 Ecuación desarrollada.
Ecuación reducida. OPERANDO Ecuación desarrollada.

6 Ejercicio: Calcula los elementos de las circunferencias siguientes:
2x²+2y²-12x+16y-50=0. (x-2)²+(y-3)²-16=0. (3x-2)²+(3y-3)²-144=0.

7 Ejercicio: Posición relativa “RECTA y CIRCUNFERENCIA”:
Para estudiar la posición se resuelve el sistema de ecuaciones. Paso 1: despejamos de la lineal. Paso 2: sustituimos en la no lineal Ejercicio: Estudia la posición relativa de la recta r:x-y+5=0 y la circunferencia x²+y²-6x+8y-25=0 ESQUEMA

8 Ejercicio: Posición relativa “DOS CIRCUNFERENCIAS”:
Paso 1: Calculamos la distancia entre los centros. Paso 2: Calculamos la suma de los radios. Paso 3: Calculamos la resta de los radios. Paso 4: Aplicamos la tabla siguiente Pág. 142 del libro Ejercicio: Estudia la posición relativa de las circunferencias: C1: x²+y²-6x+8y-25=0 C2: x²+y²-1=0

9 POTENCIA: Se cumple que: Esto es lo mismo que: Es decir:
A esta constante la llamamos potencia del punto P respecto de la circunferencia C.

10 Para calcular la potencia de un punto respecto a C, hay que sustituir el punto en C.
La potencia sirve para saber la posición relativa entre un punto y una circunferencia: Ejercicio: Estudia la posición de P(-3,2), Q(0,6) y R=(1,2) respecto de C: x²+y²-6y=0 ESQUEMA

11 Ejercicio: Estudia para qué valores de m el punto P=(5,m) es interior , exterior o perteneciente a la circunferencia C: x²+y²-4x-4y-17=0 Calcula el lugar geométrico del plano que tienen la misma potencia respecto de las circunferencias C1:x²+y²-4x-4y-17=0 C2: x²+y²+1=0

12 EJE RADICAL: Es el lugar geométrico de los puntos del plano que tienen la misma potencia respecto a las dos circunferencias:

13 Propiedades del eje radical:
1.-Es perpendicular a la recta que une los centros. 2.-Pasa por el punto medio de las tangentes exteriores comunes. 3.-Si las circunferencias son secantes pasa por los puntos de corte. 4.-Si son tangentes, el eje radical es tangente en el punto de tangencia.

14 Ejercicio: Halla el centro radical de las circunferencias siguientes:
C1: x²+y²=16 C2: x²+y²-2x+4y-4=0 C3: x²+y²+6x-6y+14=0 Calcula la ecuación de la circunferencia que tiene por centro el punto C(1,4) y es tangente a la recta 3x+4y-4=0. Calcula la ecuación de una circunferencia concéntrica a C: 4x²+4y²-24x+4y+33=0 y cuyo radio mide la mitad.

15 Ejercicio: Calcula el eje radical de las circunferencias: C1: x²+y²-4x+2y+4=0 C2: x²+(y-3)²=4 C3:2 x²+2y²+8x-24=0 Calcula la posición relativa de la circunferencia : C1: 2x²+2y²-6x-6y+7=0 Con las circunferencia: C2: x²+y²-2x-3y+3=0 C3: x²+y²=-1/4 C4: 2x²+2y²=5 C5: x²+y²-3y+2=0

16 Todo el peso se apoya en el suelo sobre un punto
Todo el peso se apoya en el suelo sobre un punto. La superficie de rozamiento es mínima. LA RUEDA: La primera rueda de la que se tiene constancia se encontró en un grabado de Mesopotamia en el A.C.

17 LA NORIA:

18 PIEZAS DE INGENIERÍA:

19 EL ANILLO: Podemos relacionar el radio “r” o diámetro del anillo con la medida del dedo “L”.

20 Podemos construir una espiral, en la naturaleza se encuentra en el caparazón de algunos moluscos.

21 DISCO DURO: Podemos calcular la velocidad de giro.

22 RUEDA DE PALETAS: Para generar energía no contaminante.
Para las ruedas de molino.

23 Cambia la dirección de la fuerza aplicada a un objeto.
LA POLEA:

24 PARALELOS Y MERIDIANOS:
Para localizar situaciones y medir distancias. La longitud de un arco es el radio por el ángulo.

25 2. Parábola: Lugar geométrico de los puntos que equidistan de un punto llamado foco y de una recta llamada directriz.

26 Los puntos de la parábola cumplen:
Simplificando esta ecuación queda:

27 La parábola en otros casos:

28 Ejercicio: Escribe la ecuación de la parábola cuyo vértice es el punto V(-2,4), su eje es paralelo al eje de ordenadas y la distancia entre su foco y su directriz es de 3 unidades. Parea las siguientes parábolas, calcula las coordenadas del foco y del vértice, la ecuación del eje y de la directriz: x=y²-6y+10 x²-4x=6y-28 ESQUEMA

29 PUENTES:

30 ANTENA PARABÓLICA:

31 TRAYECTORIAS DE PROYECTILES:

32 PISTAS DE PATINAJE

33 NAVES ESPACIALES

34 CIUDAD Y ARTES DE LAS CIENCIAS (VALENCIA)

35 3. Elipse: Es el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la suma de sus distancias a dos puntos llamados focos es constante.

36 Ecuación fundamental de la elipse:
La elipse cumple que la suma de las distancias de cada foco al punto P es siempre la misma: Ecuación fundamental de la elipse: La excentricidad de la elipse es: Si e=0 es una circunferencia Si e= 1 es una recta e SIEMPRE ESTÁ ENTRE 0 Y 1

37 Operando y reduciendo lo máximo posible nos queda:
Esta es la ecuación reducida de la elipse.

38 La elipse en otros casos:

39 Ejercicio: Dada la elipse de ecuación 4x²+9y²=36, calcula el valor de sus semiejes, su semidistancia focal, su excentricidad y las coordenadas de los focos y vértices. Calcula la ecuación reducida de la elipse sabiendo que uno de sus focos es el punto F(0,-6) y su excentricidad es e=0’6. ESQUEMA

40 ANFITEATROS: El anfiteatro de Pompeya.

41 LA CASA BLANCA: Plaza elíptica.

42 CIRCUNFERENCIAS: Vistas en perspectiva.

43 LEY DE KEPLER: Determina la velocidad de los planetas.

44 Arte en las calles de Chicago.
CLOUD GATE ELIPSE

45 FELICE VARINI Arte y geometría.

46 4. Hipérbola: Es el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la diferencia de sus distancias a dos puntos llamados focos es constante.

47 Ecuación fundamental de la hipérbola:
En este caso: Ecuación fundamental de la hipérbola: La excentricidad de la elipse es: Si e= 1 es una recta e SIEMPRE ES MAYOR QUE 1

48 Las asíntotas de la hipérbola son:

49 Operando y reduciendo lo máximo posible nos queda:
Esta es la ecuación reducida de la hipérbola.

50 La hipérbola en otros casos:

51 Ejercicio: Dada la hipérbola de ecuación x²-9y²=9, calcula sus elementos. Calcula la ecuación de una hipérbola en cada uno de los casos: Vértice A(5,0 )y foco F(8,0). Foco F(15/4,0) y pasa por el punto P(5,3). Asíntota y=2x y eje real 2ª. ESQUEMA

52 Aeropuerto de Barcelona.
TORRE DE AERPUERTO

53 CHIMENEAS EN CENTRALES TÉRMICAS

54 INTERFERENCIAS DE GOTAS DE AGUA

55 BÓBEDAS DE LA SAGRADA FAMILIA:

56 Fin

57 La excentricidad mide lo “achatada” que está la elipse, cuanto más cerca de uno está su valor, más achatada está. VOLVER

58 VOLVER

59 VOLVER

60 VOLVER

61 VOLVER

62

63 VOLVER