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Secciones Cónicas Una aproximación geométrica. Sección geométrica Es la intersección, el corte, entre un cuerpo geométrico y un plano.

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Presentación del tema: "Secciones Cónicas Una aproximación geométrica. Sección geométrica Es la intersección, el corte, entre un cuerpo geométrico y un plano."— Transcripción de la presentación:

1 Secciones Cónicas Una aproximación geométrica

2 Sección geométrica Es la intersección, el corte, entre un cuerpo geométrico y un plano.

3 Sección cónica Apolonio de PergaApolonio de Perga (262 A.C. 190 A.C) el gran geómetra el gran geómetra El primero que estudió las secciones de un haz de luz cónico con un plano

4 Cono o doble cono y giran alrededor de una recta llamada EJE DEL CONO formando un cierto ángulo α Es un haz de rayos (GENERATRICES) que salen de UN PUNTO (VÉRTICE DEL CONO) α

5 Para que sea un cono de verdad este ángulo α siempre estará entre 0 y 90º ¡Siempre habrá una generatriz que corte al plano!

6 Cónicas degeneradas Si el plano corta al cono pasando por el centro UN PUNTO UNA RECTA UN PAR DE RECTAS

7 Cónicas no degeneradas Pero si el plano no pasa por el vértice las secciones salen curvas.

8 Clasificación circunferencia elipse parábola hipérbola Si el plano y el eje del cono son PERPENDICULARES Si el plano y el eje forman un ángulo MAYOR que el formado por el eje y una generatriz Si el plano es PARALELO a una generatriz Si el plano y el eje forman un ángulo MENOR que el eje y una generatriz Y si el plano es paralelo al eje la hipérbola se llama EQUILÁTERA

9 Todas estas curvas aparecen en la naturaleza, en el arte y en la tecnología

10 Pero el renacer de las cónicas en la edad moderna fue gracias a la ASTRONOMIA

11 1.Kepler y las cónicas Johannes Kepler( ) Astrónomo, matemático y físico alemán. Hijo de un mercenario y una bruja. Johannes Kepler( ) Astrónomo, matemático y físico alemán. Hijo de un mercenario y una bruja.

12 Seguidor de las teorías Copernicanas Modeló el sistema solar con los 5 planetas conocidos usando los 5 poliedros regulares

13 Las críticas de Ticho Brahe Le llevaron a UN NUEVO ENFOQUE !!

14 ¡¡Los planetas se mueven formando elipses!!

15 y algunos cometas, recorren PARÁBOLAS…

16 Despertó un nuevo interés por las cónicas

17 Elementos de una sección cónica

18 Eje de simetría Cono es simétrico respecto a cq plano que contenga al eje Plano es simétrico respecto a cq. Plano perpendicular a él Cónica es simétrica respecto a la proyección del eje en el plano (la intersección del único plano perpendicular a la cónica, conteniendo al eje)

19 Las esferas: Focos y directriz Esfera tangente al cono

20 Sean dos esferas… Tangentes al cono y al plano de la cónica A la vez

21 FOCOS Las esferas tocan al plano de la cónica en sendos puntos llamados FOCOS F y F Y tocan al cono en dos circunferencias G 1 y G 2

22 Directriz El plano determinado por la circunferencia tangente G1 (o G2) Y el plano de la cónica Perpendicularmente al eje de simetría Directriz Foco Se cortan en la DIRECTRIZ

23 Directriz La parábola solo tiene una directriz La hipérbola tiene dos

24 La directriz es la línea hacia la que se achata la cónica Cuanto más se alejan los focos entre sí, más se acercan a sus respectivas directrices

25 PF=PG por potencia de un punto a una circunferencia Y la proyección de PG y PD en el eje es la misma, G y D están a la misma altura PG cosα=PD cosβ ε= PF/PD=PG/PD=cosβ/ cosα Excentricidad ε= PF/PD

26 Circunferencia ε = 0 PF=radio PD= Elipse ε <1 PF< PD Parábola ε =1 PF =PD Hipérbola ε >1PF> PD Clasificación de las cónicas

27 La orbita de la tierra es una elipse de excentricidad 0,017

28 2. Estudio analítico de las cónicas El estudio analítico consiste en escribir geometría con coordenadas

29 PARÁBOLA Es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco y de una recta fija llamada directriz. PF=PD x 2 = 4cy En general y=ax 2

30 Si la parábola no tiene su vértice en (0,0) si no en (p, q) entonces la ecuación sería: (y – q) =a (x – p) 2 y=a(x 2 -2px+p 2 )+q y=ax 2 -2apx+ap 2 +q y=ax 2 +b x+c

31 Elipse: Es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos es constante. Estos dos puntos fijos se llaman focos de la elipse.

32 Coordenadas elipse

33 Ecuación elipse PF + PF' = 2 a Usando c 2 = a 2 + b 2

34 HIPERBOLA Es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias entre dos puntos fijos es constante. Estos dos puntos fijos se llaman focos de la hipérbola.

35 Coordenadas hipérbola I

36 Ecuación hiperbola PF – PF' = 2 a Usando c 2 = a 2 + b 2

37 ASINTOTAS Son la proyección en el plano de la cónica de las generatrices paralelas a la cónica

38 Coordenadas hipérbola II Si la hipérbola es EQUILATERA las asíntotas son perpendiculares y pueden ser tomados como ejes

39 Rotemos las coordenadas … a=b x 2 -y 2 =a 2 Rotación de 45º (x+y) 2 -(x-y) 2 =2a 2 4xy=2a 2

40 La excentricidad en la elipse y la hipérbola La directrices son x=a 2 /c y x=-a 2 /c ε= c/a

41 FIN


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