Sesión 15.1 Rectas y planos en R3.

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1 Sesión 15.1 Rectas y planos en R3

2 Rectas en el espacio Existen varias formas para representar las rectas en el espacio: en forma vectorial o un conjunto de tres ecuaciones paramétricas o en forma simétrica. y z x v= a; b; c PO(xo; yo; zo) P(x; y; z) r0 O r r = {r0 + tv / tR} La recta es paralela al vector dirección v = a; b; c

3 Ecuaciones de una recta en el espacio
Si es una recta que pasa por el punto Po(xo;yo;zo) y en la dirección del vector no nulo v = a; b; c, entonces un punto P(x; y; z) está en sí y sólo si Vectorial: r = x; y; z y r0 = x0; y0; z0 Paramétrica: Simétrica: a, b y c son diferentes de cero

4 Determinación de la ecuación de la recta:
1. Si se conoce dos puntos de la recta. y x z A=(2; 4; -3) B=(3; -1; 1) Determine las ecuaciones paramétricas y simétrica de la recta que pasa por los puntos A(2; 4; -3) y B(3; -1; 1). ¿En qué punto interseca esta recta al plano xy?

5 Determinación de la ecuación de la recta:
2. Dado un punto de la recta y un vector director. v=i+4j-2k y x z P0=(5; 1; 3) Determine una ecuación vectorial y las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por el punto (5; 1; 3) y es paralela al vector i+4j-2k. Determine otros dos puntos sobre la recta.

6 Determinación de la ecuación de la recta:
3. Dado un punto y una recta paralela y x z P0=(1; -1; 1) x+2 = y/2 = z–3 Determine las ecuaciones paramétricas y simétrica de la recta que pasa por el punto A(1; -1; 1) y es paralela a la recta x+2 = y/2 = z–3.

7 Ejercicios Determine en forma vectorial y paramétrica la ecuación de la recta bajo las condiciones dadas en cada caso: P0(-3; 8; -1), v=-3; 5; 2 Pasa por el punto B y el punto medio de AC, donde A=(-1; 2; 4), B=(0; 6; -3) y C=(2; -4; 1)

8 Planos en el espacio Para describir un plano en el espacio no basta hacerlo mediante la ubicación de un vector paralelo al plano y x z v P0(x0; y0; z0) y x z P(x; y; z) n P0(x0; y0; z0) Sin embargo un vector perpendicular o “normal” n al plano especifica por completo su dirección.

9 Planos en el espacio Entonces se cumple que el producto escalar del vector n y el vector P0P debe ser cero. y x z P(x; y; z) P0(x0; y0; z0) n=a; b; c

10 Planos en el espacio Las ecuaciones de un plano son: Vectorial:
P0: Punto conocido P: Punto genérico (x, y, z) n: Vector normal <a, b, c> Vectorial: General: Los coeficientes de x, y, z, son las componentes del vector normal <a, b, c>

11 Ejercicios Determine una ecuación del plano que pasa por el punto P(2; 4; -1) con un vector normal n = 2; 3; 4 Halle la ecuación del plano determinado por los tres puntos A(2; 1; –1), B(–2; 0; 3) y C(1; 4; 0) .

12 Importante Los alumnos deben revisar los ejercicios del libro Cálculo de Varias Variables de Stewart. Ejercicios: 22, 24, 28, 30, 32 y 38 de la página 802. Sobre la tarea, está publicada en el AV Moodle.