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1 SISTEMA DE NUMEROS NÚMEROS ENTEROS DIVISIBILIDAD NÚMEROS PRIMOS MÍNIMO COMÚN MULTIPLO MÁXIMO COMÚN DIVISOR.

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1 1 SISTEMA DE NUMEROS NÚMEROS ENTEROS DIVISIBILIDAD NÚMEROS PRIMOS MÍNIMO COMÚN MULTIPLO MÁXIMO COMÚN DIVISOR

2 2 Z = Conjunto de los Números Enteros Z = {..... –3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...}Números Enteros

3 3 PRODUCTO EN Z La regla que se utiliza es la misma para multiplicar que para dividir.¿ CÓMO SE HACE?. Multiplico números y luego multiplico los signos de acuerdo a la siguiente ley de los signos : (+) · (+) = + (-) · (-) = + (+) · (-) = - (-) · (+) = -

4 4 DIVISIBILIDAD Un número entero A es divisible entre otro número entero positivo B, si al dividir A entre B la división resulta exacta. A BA Є Ζ, B Є Ζ + 0 KK Є Ζ Se dice : A es divisible entre B ó B es un divisor de A

5 5 MULTIPLICIDAD Un número entero A es múltiplo de un número entero positivo B, si A es el resultado de multiplicar a B por un número entero K. A = B.K A Є Ζ, B Є Ζ + K Є Ζ Se dice : A es múltiplo de B ó B es un factor de A

6 6 DIVISIBILIDAD MULTIPLICIDAD Indicar que: un número entero A es divisible entre ó múltiplo de otro número positivo B, se considerará equivalente, y se denotará: o o A = B ó A = B ó A=nB, n Z B: Módulo Ejemplos: o o o o 21= 7, - 45 = 9, 5 = 5, 0 = 3

7 7 OBSERVACIONES Todo número entero positivo es divisible por si mismo y por la unidad. La unidad es divisor de todo número entero. El cero es múltiplo de todo número entero.

8 8 CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD Es un conjunto de reglas que, aplicadas a las cifras de un número, nos permite anticipar entre qué cantidades es divisible dicho número. En caso contrario, nos permite calcular el residuo en forma directa.

9 9 Número Criterio 2 * El número acaba en cifra par 3 * La suma de sus cifras es múltiplo de 3 4 * El número formado por las dos últimas cifras es múltiplo de 4 5 * La última cifra es 0 ó 5 9 * La suma de sus cifras es multiplo de 9

10 10 REPRESENTACION LITERAL DE UN NUMERO Cuando no se conocen las cifras de un número éstas se representan mediante la notación:N = EJEMPLO: Si el número se escribe como :

11 11 NUMEROS PRIMOS Llamados también primos absolutos, son aquellos números que poseen únicamente dos divisores: a la unidad y el mismo número. Ejemplos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29,… Todos los números primos son impares, a excepción del 2.

12 12 Números Simples: Son aquellos números enteros positivos que poseen a lo más dos divisores, y están formados por la unidad y los números primos. Ejms: 1, 2, 3, 5, 7, 23, 29, 37, 89, 187, 193,.. Números Compuestos: Son aquellos números enteros positivos que poseen más de dos divisores. Ejemplos: 4, 6, 12, 35, 80, 100, 118, 258, …

13 13 NUMEROS PRIMOS ENTRE SI (P.E.S.I.) Se les denomina también primos relativos o coprimos, y son aquellos números que tienen como único divisor común a la unidad. Ejm. 6, 14, 21 son números P.E.S.I porque DIVISORES 6: 1, 2, 3, 6 14 : 1, 2, 7, 14,el único divisor común es 1 21 : 1, 3, 7, 21

14 14 PROPIEDADES Dos o más números consecutivos son siempre números P.E.S.I. Dos o más números impares consecutivos son siempre números P.E.S.I. Si dos números A y B son P.E.S.I. entonces: a) A, B y A + B son P.E.S.I. b) A, B y A – B son P.E.S.I.

15 15 TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA ARITMÉTICA. Todo número entero positivo mayor que la unidad se puede expresar como la multiplicación indicada de sus divisores primos diferentes, elevados cada uno de ellos a exponentes enteros positivos. Esta representación es única, salvo el orden de sus factores. A esta representación se le denomina: Descomposición Canónica del Número.

16 16 MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (M.C.M.) Dado un conjunto de números enteros positivos, el MCM de dichos números es un entero positivo que cumple las siguientes condiciones: 1. Es un múltiplo común de los números. 2. Es el menor de estos múltiplos comunes.

17 17 Ejm. Halle el MCM de 4, 6 y 8 : 4,8,12,16, 20,24, 28, 32, 36, 40,44,48… : 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, … : 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, … Múltiplos comunes: 24, 48, … El menor de estos múltiplos comunes es 24 M.C.M.(4, 6, 8) = 24

18 18 Ejm. Halle el MCM de 40, 78 y 180 MCM(40, 78, 85)= = 4680

19 19 Ejm. Halle el MCM de 40, 78 y 180 MCM(40,78,180) =

20 20 MÁXIMO COMÚN DIVISOR (M.C.D.) Dado un conjunto de números enteros positivos, el MCD de dichos números es un entero positivo que cumple las siguientes condiciones: 1. Es un divisor común de los números. 2. Es el mayor de los divisores comunes.

21 21 Ejm. Halle el MCD de 12, 16 y : 1, 2, 3, 4, 6, : 1, 2, 4, 8, : 1, 2, 4, 5, 10, 20 Divisores comunes: 1, 2, 4 El mayor de estos divisores comunes es 4 M.C.D.(12, 16, 20) = 4

22 22 Ejm. Halle el MCD de 400, 800 y 1800 MCD(400,800,1800)= = 200 MÉTODOS PARA CALCULAR EL M.C.D.

23 23 Ejm. Halle el MCD de 400, 800 y 1800 MCD(400,800,1800) =

24 24 PROPIEDADES FUNDAMENTALES Con respecto a las operaciones con números múltiplos de un mismo módulo: a)b) c) Si d) Si

25 25 Si un número es múltiplo de varios módulos, entonces es múltiplo del MCM de dichos módulos: i) Si ii) Si

26 26 Dado un número N donde: Se cumple:

27 27 Si un número N se descompone canónicamente: Entonces:


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