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Algoritmo 2001 - Matemáticas I Tema: 14 1 Monotonía y curvatura Monotonía: crecimiento y decrecimiento en un intervalo [a[a ]b]b x f(x) x+h f(x+h) h Función.

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2 Algoritmo Matemáticas I Tema: 14 1 Monotonía y curvatura Monotonía: crecimiento y decrecimiento en un intervalo [a[a ]b]b x f(x) x+h f(x+h) h Función creciente en [a, b] f(x) 0 TVM(x, h) > 0 (x, x+h) y h >0 TVM(x,h) [a[a ]b]b x h f(x) Función decreciente en [a, b] -TVM(x,h) f(x) 0 TVM(x, h) 0 f(x+h) x+h IMAGEN FINAL

3 Algoritmo Matemáticas I Tema: 14 2 Monotonía y curvatura Derivadas y monotonía [a[a ]b]b Función creciente en [a, b] [a[a ]b]b Función decreciente en [a, b] x f '(x) = tg > 0 x [a, b] x f '(x) = tg < 0 x [a, b] IMAGEN FINAL

4 Algoritmo Matemáticas I Tema: 14 3 Siempre positivo Monotonía y curvatura Ejemplo 2x Intervalos de monotonía de y = 1 + x 2 y ' = 2(1 - x)(1 + x) 1 + x 2 2(1 - x)(1 + x) = 0 x = 1 ; 1 y < 0 y > 0 y < 0 IMAGEN FINAL

5 Algoritmo Matemáticas I Tema: 14 4 Monotonía y curvatura Curvatura: convexidad y concavidad [a[a ]b]b [a[a ]b]b [a[a ]b]b [a[a ]b]b creciente: Tasa de variación media positiva y creciente: función convexa creciente: Tasa de variación media negativa y creciente: función convexa decreciente: Tasa de variación media positiva y decreciente: función cóncava decreciente: Tasa de variación media negativa y decreciente: función cóncava IMAGEN FINAL

6 Algoritmo Matemáticas I Tema: 14 5 [a[a ]b]b Monotonía y curvatura Derivadas y curvatura: convexidad Las pendientes de las tangentes aumentan f ' es creciente f " > 0 función convexa [a[a ]b]b x1x1 x2x2 tg tg f '(x 1 ) < f '(x 2 ) x1x1 x2x2 IMAGEN FINAL

7 Algoritmo Matemáticas I Tema: 14 6 [a[a ]b]b [a[a ]b]b Monotonía y curvatura Derivadas y curvatura: concavidad x1x1 x2x2 x1x1 x2x2 tg tg f '(x 1 ) > f '(x 2 ) Las pendientes de las tangentes disminuyen f ' es decreciente f " < 0 función cóncava IMAGEN FINAL

8 Algoritmo Matemáticas I Tema: 14 7 Monotonía y curvatura Puntos de inflexión P(a, f(a)) f" < 0 f" > 0 f"(a) = 0 IMAGEN FINAL

9 Algoritmo Matemáticas I Tema: 14 8 Monotonía y curvatura Puntos extremos: máximos y mínimos relativos f ' < 0 f ' > 0 f ' < 0 a b f ' (a) = 0 f " (a) > 0 f " (b) < 0 f ' (b) = 0 mínimo relativo de coordenadas (a, f(a)) máximo relativo de coordenadas (b, f(b)) IMAGEN FINAL

10 Algoritmo Matemáticas I Tema: 14 9 Monotonía y curvatura Máximos y mínimos (I) Costa A B Llegar desde A hasta B, tocando en la costa y recorriendo la menor distancia posible 3 km. 7 km. 10 km. IMAGEN FINAL

11 Algoritmo Matemáticas I Tema: Monotonía y curvatura Máximos y mínimos (II) A B 3 km. 7 km. 10 km. A' mínima distancia entre A' y B = mínima distancia entre A y B = = ACB C X10 - X 3 x = x x = 3 ¿Se podrían hacer utilizando las derivadas? IMAGEN FINAL


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