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Euler - Matemáticas I Tema: 15 1 Variación de funciones. Derivadas Final Tasa de variación media de una función Para una función f(x) se define la tasa.

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1 Euler - Matemáticas I Tema: 15 1 Variación de funciones. Derivadas Final Tasa de variación media de una función Para una función f(x) se define la tasa de variación media de f en un intervalo [a, b], contenido en el dominio f(x), mediante el cociente: f(b) – f(a) b – a T m f[a, b] = La tasa de variación media es una medida de la variación que experimenta una función, en un intervalo, por unidad de variable independiente a b f(a) f(b) T m f[a, b] > 0 f(b) – f(a) > 0 a b f(a) f(b) f(b) – f(a) < 0 T m f[a, b] < 0

2 Euler - Matemáticas I Tema: 15 2 Variación de funciones. Derivadas Derivada de f en el punto de abcisa p: el límite ha existir y ser finito Final Tasa de variación en un punto. Concepto de derivada Al calcular la tasa de variación media en intervalos de longitud cada más pequeña, con un extremo en un punto p, intentamos obtener una medida de lo rápido que varía la función en p. De esta forma obtenemos la derivada en p. p p + h f(p) f(p + h) f(p + h) – f(p)

3 Euler - Matemáticas I Tema: 15 3 Variación de funciones. Derivadas Final La recta tangente como límite de rectas secantes Q1Q1 Q2Q2 Q3Q3 QnQn t1t1 t2t2 t3t3 tntn t X Y P... La recta tangente a una curva C en un punto P es la recta que pasa por P y es la posición límite de las rectas secantes que pasan por P y Q cuando Q es cualquier punto de C que tiende a P a los largo de la curva C

4 Euler - Matemáticas I Tema: 15 4 Variación de funciones. Derivadas Final Interpretación geométrica de la tasa de variación media: pendiente de la recta secante La pendiente de la recta secante a la curva, por P y Q es: p f(p) p + h f(p + h) h f(p + h) - f(p) P Q

5 Euler - Matemáticas I Tema: 15 5 Variación de funciones. Derivadas p f(p) p + h f(p + h) h f(p + h) - f(p) P Q Final Interpretación geométrica de la derivada: pendiente de la recta tangente Al hacer que h 0, ocurrirá que p + h tiende (se acerca) a p Q recorre la curva acercándose a P La recta secante a la curva se convierte en la recta tangente La inclinación de la recta secante tiende a la inclinación de la recta tangente La tasa de variación media tiende a la tasa de variación instantánea Si la función f tiene derivada en el punto p, la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función f en este punto es la derivada de f en p

6 Euler - Matemáticas I Tema: 15 6 Variación de funciones. Derivadas Final Ecuación de la recta tangente a una curva en un punto p f(p) La ecuación de la recta que pasa por un punto P(x o, y o ) y tiene de pendiente m es: y – y o = m (x – x o ) La ecuación de la recta la gráfica de la función f por el punto de abcisa p es y – f(p) = f ' (p) (x – p) siempre que f tenga derivada en p f '(p) = tg

7 Euler - Matemáticas I Tema: 15 7 Variación de funciones. Derivadas Final Tangente vertical en un punto Pendientes de las rectas tangentes que pasan por P(0, 0) y Q(h, f(h)) m PQ = f(0 + h) – f(0) h h 1/3 – 0 h = = 1 h 2/3 Al hacer que x tienda a 0, la pendiente tiende a infinito: la derivada no existe, ya que por definición ha de ser finita

8 Euler - Matemáticas I Tema: 15 8 Variación de funciones. Derivadas Final Función derivada Derivada de f(x) = x 2 en el punto 2: Para obtener la derivada en el punto x Derivada de f(x) = x 2 en el punto 3: Se llama función derivada de una función f(x), o simplemente derivada de f, a una nueva función f ' (x) que asocia a cada punto x la derivada de f(x) en el punto x, siempre que ésta exista. La f ' (x) sólo existe en los puntos en los que f es derivable: esos puntos están en Dom(f) f(x) = x 2 f ´(x) = 2x

9 Euler - Matemáticas I Tema: 15 9 Variación de funciones. Derivadas Final Derivada de las operaciones con funciones (I) Derivada de una constante por una función Si c R y f es una función derivable en x R la función cf es derivable en x y su derivada es el producto de c por la derivada de f en el punto x, es decir(cf)'f = cf´(x) Derivada de la suma y diferencia de funciones Si f y g son dos funciones derivables en x R, las funciones (f + g) y (f – g) son derivables en x y sus derivadas son la suma y la diferencia de las derivadas de cada una de ellas: ( f + g)' (x) = f ' (x) + g ' (x) y ( f – g)' (x) = f ' (x) – g ' (x) Derivada de f(x) = x n, n = 0, 1, 2, 3,... Esta función es derivable en toda la recta real y su derivada es el producto del exponente n por la base elevada al exponente menos 1: f ' (x) = n x n-1 Derivada del producto de funciones Si f y g son dos funciones derivables en x R, la función f. g es derivable en x y su derivada es: (fg)'(x) = f ' (x) g(x) + f(x) g ' (x)

10 Euler - Matemáticas I Tema: Variación de funciones. Derivadas Final Derivada de las operaciones con funciones (II) Derivada de la composición de funciones: regla de la cadena. Si f tiene derivada en x y g tiene derivada en f(x), la función compuesta f o g tiene derivada en x y su derivada es (g o f )'(x) = g'(f(x)) f '(x) Derivada de la función logarítmica La función f(f) = ln x tiene derivada en x (0, ) y su derivada es: f '(x) = 1/x Derivada de la función exponencial La función f(x) = e x tiene derivada en x R y su derivada es. ç f '(x) = e x Derivada de la función potencial La función f(x) = x a tiene derivada en todo x (0, ) y su derivada es f ' (x) = ax a-1

11 Euler - Matemáticas I Tema: Variación de funciones. Derivadas Final Derivada de las funciones trigonométricas Derivada de la función seno La función f(x) = sen x tiene derivada en todo x R y su derivada es f ' (x) = cos x Derivada de la función coseno La función f(x) = cos x tiene derivada en todo x R y su derivada es f ' (x) = – sen x Derivada de la función tangente La función f(x) = tan x es derivable en los puntos en los que cos x 0, es decir para x k En dichos puntos se tiene f ' (x) = 1/cos 2 x

12 Euler - Matemáticas I Tema: Variación de funciones. Derivadas Final Crecimiento y derivadas (a(a )b)b Función creciente en (a, b) x f '(x) = tg > 0 x (a, b) Si f(x) es una función derivable en el intervalo (a, b) y su derivada es positiva en todos los puntos del conjunto (a, b), la función f(x) es creciente en (a, b)

13 Euler - Matemáticas I Tema: Variación de funciones. Derivadas Final Decrecimiento y derivadas (a(a )b)b Función decreciente en (a, b) x f '(x) = tg < 0 x (a, b) Si f(x) es una función derivable en el intervalo (a, b) y su derivada es negativa en todos los puntos del conjunto (a, b), la función f(x) es decreciente en (a, b)

14 Euler - Matemáticas I Tema: Variación de funciones. Derivadas Final Estudio de los intervalos de crecimiento y decrecimiento Siempre positivo Intervalos de crecimiento y decrecimiento de y = 2x 1 + x 2 y ' = 2(1 - x)(1 + x) 1 + x 2 2(1 - x)(1 + x) = 0 x = 1 ; 1 y < 0 y > 0 y < 0 Decreciente: (, -1) (1, ) Creciente: (-1, 1)

15 Euler - Matemáticas I Tema: 15 Variación de funciones. Derivadas Final Extremos relativos y derivada segunda f ' < 0 f ' > 0 f ' < 0 a b f ' (a) = 0 f " (a) > 0 f " (b) < 0 f ' (b) = 0 mínimo relativo de coordenadas (a, f(a)) máximo relativo de coordenadas (b, f(b)) Sea f(x) una función tal que f ' (p) = 0 Si f"(p) > 0, la función f alcanza en p un mínimo relativo en x = p Si f"(p) < 0, la función f alcanza un máximo relativo en x = p

16 Euler - Matemáticas I Tema: Variación de funciones. Derivadas Final Problemas de optimización (I) Costa A B Llegar desde A hasta B, tocando en la costa y recorriendo la menor distancia posible 3 km. 7 km. 10 km.

17 Euler - Matemáticas I Tema: Variación de funciones. Derivadas Final Problemas de optimización (II) A B 3 km. 7 km. 10 km. A' mínima distancia entre A' y B = mínima distancia entre A y B = = ACB C X10 - X 3 x = x x = 3 ¿Se podría resolver este problema utilizando las derivadas?


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