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Funciones elementales Matemáticas 1.º Bachillerato Puntos de corte con los ejes Consideramos la función f(x) =x 3 -2x 2 -x+2 Con el eje OX Resolvemos.

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2 Funciones elementales Matemáticas 1.º Bachillerato Puntos de corte con los ejes Consideramos la función f(x) =x 3 -2x 2 -x+2 Con el eje OX Resolvemos la ecuación x 3 -2x 2 -x+2=0 { x=-1 x=1 x=2 Puntos de cortes (-1,0) (1,0) (2,0) Con el eje OY Calculamos f(0) f(0)=2 Punto de corte (0,2)

3 Funciones elementales Matemáticas 1.º Bachillerato Simetrías axiales: Funciones pares Consideramos la función f(x) = x 4 -2x 2 La función es simétrica respecto del eje Y. x=0 d d Una función que presenta este tipo de simetría se denomina función par. Por tanto, f(-x) = (-x) 4 -2(-x) 2 = x 4 -2x 2 = f(x) -x x

4 Funciones elementales Matemáticas 1.º Bachillerato Simetrías centrales: Funciones impares Consideramos la función f(x) = x 3 -x La función es simétrica respecto del origen de coordenadas. Una función que presenta este tipo de simetría se denomina función impar. Por tanto, f(-x) = (-x) 3 -(-x) = -x 3 +x = -f(x) -x x d d

5 Funciones elementales Matemáticas 1.º Bachillerato ,1510,3010,451111,1510,3511,45 Función periódica período = T x x + T Una función f(x) es periódica de período T si existe un número real T 0, llamado período, tal que f(x) = f(x + T), para todo x de su dominio.

6 Funciones elementales Matemáticas 1.º Bachillerato Funciones polinómicas Se llama función polinómica a las funciones f(x) = a n x n + a n-1 x n a 1 x + a o donde a n, a n-1,..., a o son números reales, n es un número natural, y a n 0. En este caso se dice que tenemos una función polinómica de grado n. Las funciones f(x) = x n para n = 1, 2, 3,..... f(x) = x 4 f(x) = x 2 f(x) = x 5 f(x) = x 3 Dominio Recorrido

7 Funciones elementales Matemáticas 1.º Bachillerato Funciones lineales Las funciones de la forma y = ax + b, donde a, b R se llaman funciones lineales. (0, b): ordenada en el origen (0, b): ordenada en el origen f(x) = ax + b, a > 0f(x) = ax + b, a < 0 Dominio: R Recorrido: R Una función lineal queda determinada cuando se conocen las imágenes de dos valores distintos de la variable independiente. Recorrido: R

8 Funciones elementales Matemáticas 1.º Bachillerato Funciones cuadráticas Son funciones de la forma y = ax 2 + bx + c, donde a 0, b, c R Funciones y = ax 2 para diferentes valores de a: Son parábolas Dominio: R Si a > 0: Recorrido = [0, ) Si a < 0: Recorrido = (–, 0] a =2 a =1 a = 0,5 a = – 2 a = – 1 a = – 0,5

9 Funciones elementales Matemáticas 1.º Bachillerato Representación gráfica de funciones cuadráticas f(x) = ax 2 + bx + c, a 0 es una parábola V V a > 0 a < 0

10 Funciones elementales Matemáticas 1.º Bachillerato a > 0 convexa ramas hacia arriba mínimo en el vértice a < 0 cóncava ramas hacia abajo máximo en el vértice Coordenadas del vértice: (–b/(2a), f(–b/(2a)) Eje de simetría: x = –b/(2a) Funciones polinómicas de segundo grado: f(x) = ax 2 + bx + c (I) Gráficas de funciones: monotonía y curvatura

11 Funciones elementales Matemáticas 1.º Bachillerato Funciones polinómicas de segundo grado: f(x) = ax 2 + bx + c (II) b 2 – 4ac < 0 no corta al eje OX Punto de corte con el eje OY: (0, c) b 2 – 4ac > 0 corta al eje OX en dos puntos b 2 – 4ac = 0 corta al eje OX en un punto Gráficas de funciones: monotonía y curvatura

12 Funciones elementales Matemáticas 1.º Bachillerato Representación gráfica de algunas funciones polinómicas Grado 3 Grado 4 Grado 5 Grado 6

13 Funciones elementales Matemáticas 1.º Bachillerato Funciones polinómicas de tercer grado: f(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d (I) a > 0 a < 0 Tipo 1: punto de inflexión cóncavo–convexo Sin máximos ni mínimos relativos y un solo punto de inflexión. Cortan al eje OX en un solo punto y al eje OY en un solo punto. Tipo 2: punto de inflexión convexo–cóncavo I I

14 Funciones elementales Matemáticas 1.º Bachillerato Funciones polinómicas de tercer grado: f(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d (II) a > 0 a < 0 Tipo 3: Máximo–mínimo Tipo 4: Mínimo–máximo Con un máximo y un mínimo relativos y un solo punto de inflexión. Cortan al eje OY en un solo punto. Pueden cortar al eje OX en 3, 2 ó 1 punto. I I m m M M

15 Funciones elementales Matemáticas 1.º Bachillerato Funciones polinómicas de tercer grado: f(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d (II) a > 0 a < 0 Tipo 3: Máximo–mínimo Tipo 4: Mínimo–máximo Con un máximo y un mínimo relativos y un solo punto de inflexión. Cortan al eje OY en un solo punto. Pueden cortar al eje OX en 3, 2 ó 1 punto. I I m m M M

16 Funciones elementales Matemáticas 1.º Bachillerato – 1 1 Funciones racionales Una función racional es una función cociente de dos funciones polinómicas; es decir, f(x) = P(x)/Q(x), donde P(x) y Q(x) son dos polinomios. Dominio: conjunto de todos los números reales excepto los que anulan al denominador. Por tanto para hallar el dominio hay que resolver la ecuación Q(x) = 0. x + 1 – ++ f(x) + – – + + Las asíntotas de la función f(x) = 1/(x 2 - 1) y los cambios de signo en su dominio.

17 Funciones elementales Matemáticas 1.º Bachillerato Funciones exponenciales Una función exponencial es una función de la forma f(x) = a x, siendo x la variable y a un número real. Dominio: R. Recorrido: (0, ) Las gráficas de todas las funciones exponenciales pasan por el punto (0, 1). 0 < a < 1a > 1 f(x) = 2 x f(x) = e – x = (1/e) x f(x) = e x f(x) = 2 – x = (1/2) x

18 Funciones elementales Matemáticas 1.º Bachillerato Funciones logarítmicas Una función logarítmica es una función de la forma f(x) = log a x, siendo x la variable y a un número real mayor que 0 y distinto de 1. Dominio: (0, ). Recorrido: R Las gráficas de todas las funciones logarítmicas pasan por el punto (1, 0). Es inversa de la exponencial: sus gráficas son simétrica respecto y = x. 0 < a < 1a > 1 f(x) = a x f(x) = log a x

19 Funciones elementales Matemáticas 1.º Bachillerato Función seno y = 1 y = –1 3 Propiedades de la función seno: Su dominio que es R. Su recorrido es el intervalo [–1, 1]. Es periódica de período 2p. Es una función impar: sen (– x ) = sen x.

20 Funciones elementales Matemáticas 1.º Bachillerato Función coseno y = 1 y = –1 3 Propiedades de la función coseno: Su dominio es R. Su recorrido es el intervalo [–1, 1]. Es periódica de período 2p. Es una función par: cos (– x ) = cos x. y = cos x y = sen x

21 Funciones elementales Matemáticas 1.º Bachillerato Función tangente Propiedades de la función tangente: Su dominio es R – k k Z Su recorrido es toda la recta real. Es periódica de período. Las recta x = k k Z son asíntotas verticales. Es una función impar: tan (– x ) = – tan x.

22 Funciones elementales Matemáticas 1.º Bachillerato Función arco seno Propiedades de la función arco seno: Su dominio es [–1, 1]. Su recorrido es el intervalo – ]. La función sen x es inyectiva en – /2, /2 En ese intervalo tendrá inversa: f(x) = arcsen x. Las gráficas de ambas funciones son simétricas respecto a la recta y = x. y = sen x y = arcsen x 1 y = x 1 0 – 1 – –

23 Funciones elementales Matemáticas 1.º Bachillerato Función arco tangente Propiedades de la función arco tangente Su dominio: R. Su recorrido es el intervalo ]. La función tan x es inyectiva en, En ese intervalo tendrá inversa: f(x) = arctan x. Las gráficas de ambas funciones son simétricas respecto a la recta y = x. y = tan x y = arctan x y = x 0


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