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1º BACHILLERATO | Matemáticas © Oxford University Press España, S.A. 2008 Hacer clic en la pantalla para avanzar TASA DE VARIACIÓN Dada una función cualquiera.

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1 1º BACHILLERATO | Matemáticas © Oxford University Press España, S.A Hacer clic en la pantalla para avanzar TASA DE VARIACIÓN Dada una función cualquiera f(x), se define su tasa de variación media en un intervalo [a, b], como: TVM [a, b] = variación de f(x) variación de x = f(b) - f(a) b- a Aplicación de la TVM Velocidad media: La función del espacio recorrido es dependiente del tiempo: s(t) v m = espacio recorrido tiempo empleado = s t Consideramos la tasa de variación instantánea de una función f(x) en a: TVI(a) = lim b a Si utilizamos h = b – a, la expresión anterior queda: TVI(a) = lim h 0 Aplicación de la TVI: velocidad instantánea: El límite de las sucesivas secantes cuando h tiende a 0 es la recta tangente a la gráfica de la función en el punto (t = a, s(t) = f(a)) f(b) - f(a) b- a f(a + h) - f(a) h

2 1º BACHILLERATO | Matemáticas © Oxford University Press España, S.A Hacer clic en la pantalla para avanzar DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO Crecimiento y decrecimiento Si f(a) > 0 la función es creciente en el punto (a, f(a)) Si f(a) < 0 la función es decreciente en el punto (a, f(a)) Si una función f(x) tiene un extremo relativo (máximo o mínimo) en x = a y existe f(a), entonces f(a) = 0. La derivada de una función f(x) en el punto de abscisa x = a es el valor de la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f(x) en el punto (a, f(a)). Se designa por f(a): f'(a) = lim h 0 f(a + h) - f(a) h Derivadas laterales Derivada lateral por la izquierda: f' - (a) = lim h 0- Derivada lateral por la derecha: f' + (a) = lim h 0+ Si las derivadas laterales no existen o no coinciden entonces f(x) no es derivable en el punto a: En este caso f + (0) = 1 y f - (x) = -1, luego f(x) = |x| no es derivable en x = 0. f(a + h) - f(a) h f( ) - f(a) h

3 1º BACHILLERATO | Matemáticas © Oxford University Press España, S.A Hacer clic en la pantalla para avanzar FUNCIÓN DERIVADA La función derivada de f(x) se define como aquella que hace corresponder a cada valor de a la derivada de f(x) en x = a, es decir, f(a). Se representa mediante f(x). Función constante: Si f(x) = k entonces f(x) = 0 Función identidad: Si f(x) = x entonces f(x) = 1 = lim 1 = 1 Función cuadrática: Si f(x) = x 2 entonces f(x) = 2x Función potencial: Si f(x) = x n entonces f(x) = nx n-1 f'(x) = lim f(x + h) - f(x) h = m k- k h = m 0= 0 f'(x) = lim f(x + h) - f(x) h = m x + h - x h = m h h f'(x) = lim f(x + h) - f(x) h = m (x + h) 2 - x 2 h h 0 =lim (x 2 + 2xh + h 2 ) - x 2 h =lim 2xh + h 2 h =lim (2x + h) =2x Función logarítmica: Si f(x) = log a x entonces f(x) = Si f(x) = ln x entonces f(x) = Función exponencial: Si f(x) = a x entonces f(x) = a x · ln a Si f(x) = e x entonces f(x) = e x · ln e = e x Funciones trigonométricas: Si f(x) = sen x entonces f(x) = cos x Si f(x) = cos x entonces f(x) = -sen x 1 x. 1 ln a 1 x. 1 ln e = 1 x Derivada de algunas operaciones con funciones (f(x) + g(x)) = f(x) + g(x) (k · f(x)) = k · f(x) (f(x) · g(x)) = f(x) · g(x) + f(x) · g(x) ( f(x) g(x) ) = f(x) · g(x) - f(x) g(x) (g(x)) 2 ·

4 1º BACHILLERATO | Matemáticas © Oxford University Press España, S.A Hacer clic en la pantalla para avanzar APLICACIONES DE LA DERIVADA Representación de funciones Determinar el dominio. Estudiar la continuidad. Determinar sus ramas infinitas, es decir, sus asíntotas y su comportamiento en + y en -. Averiguar los puntos de intersección con los ejes de coordenadas. Determinar sus puntos críticos, es decir, en qué puntos la tangente es horizontal. Dichos puntos cumplen f(x) = 0. Averiguar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función. Dichos intervalos se averiguan conociendo el signo de f(x). Ecuación de la recta tangente Si f(x) es derivable en el punto x = a, el valor de la pendiente de la recta tangente a la función f(x) en a es f(a): Ecuación punto-pendiente de la recta tangente a f(x) en x = a: y – f(a) = f(a) · (x – a)


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