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Tema 3. La Derivada. Aplicaciones y representación gráfica de funciones Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva 1 1.Índice 2.La derivada.

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1 Tema 3. La Derivada. Aplicaciones y representación gráfica de funciones Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva 1 1.Índice 2.La derivada y la recta tangente 3.Definición de derivada 4.Derivadas laterales 5.Derivabilidad y continuidad 6.Ritmos de cambio 7.Reglas básicas de derivación 8.Derivadas de orden superior 9.La regla de la cadena 10.Extremos de una función 11.Números críticos 12.Estrategia para localizar extremos 13.Teorema de Rolle 14.Teorema del Valor Medio 15.Regla de Bernouilli-Hôpital 16.Funciones crecientes y decrecientes 17.Criterio de crecimiento y decrecimiento 18.El criterio de la primera derivada 19.Aplicación del criterio de la 1ª derivada 20.Concavidad y convexidad 21.Criterio de concavidad 22.Aplicación del criterio de concavidad 23.Puntos de inflexión 24.El criterio de la 2ª derivada 25.Aplicación del criterio de la 2ª derivada 26.Problemas de aplicación de máximos y mínimos 27.Análisis de gráficas

2 La Derivada y el problema de la recta tangente Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva 2 Tema 3. La Derivada. Aplicaciones y representación gráfica de funciones x f(c+ x)-f(c) (c+ x, f(c+ x)) x y Recta secante que pasa por (c, f(c)) y (c+ x, f(c+ x)) Cambio en y Cambio en x Pendiente de la recta secante Si f está definida en un intervalo abierto que contiene a c y además existe el límite entonces, la recta que pasa por (c,f(c)) con pendiente m se llama recta tangente a la gráfica de f en el punto (c,f(c)) Definición Recta secante Recta tangente (c,f(c))

3 Definición de derivada Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva 3 Tema 3. La Derivada. Aplicaciones y representación gráfica de funciones La derivada de f en x viene dada por supuesto que exista ese límite Definición Una función es derivable en x si su derivada en x existe, y derivable en un intervalo abierto (a,b) si es derivable en todos y cada uno de los puntos de ese intervalo Notaciones de la derivada Derivada de y con respecto de x

4 Derivadas laterales Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva 4 Tema 3. La Derivada. Aplicaciones y representación gráfica de funciones Derivada por la izquierda Fórmula alternativa para la derivada deben existir Una función es derivable en un intervalo cerrado [a,b] si es derivable en (a,b) y además existen la derivada por la derecha en a y la derivada por la izquierda en b (c, f(c)) x-c f(x)-f(c) (x,f(x)) cx Derivada por la derecha

5 Derivabilidad y continuidad Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva 5 Tema 3. La Derivada. Aplicaciones y representación gráfica de funciones Derivable continuaSi f es derivable en x=c, entonces es continua en x=c Continua Derivable Es posible que una función sea continua en x=c sin ser derivable Ejemplos No es continua en x=0 No es derivable en x=0 Continua en x=2 pero no es derivable en x=2 2 Continua en x=0 La recta tangente en x=0 es vertical. Por tanto, f no es derivable en x=2

6 Ritmos de cambio Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva 6 Tema 3. La Derivada. Aplicaciones y representación gráfica de funciones La derivada sirve para calcular el ritmo de cambio de una variable con respecto a otra Ritmos de crecimiento de poblaciones Ritmos de producción S( t ) función de posición: Da la posición (respecto del origen) de un objeto como función del tiempo t t : lapso de tiempo s: cambio de posición Obtenemos la velocidad instantánea cuando t =1, aproximando por las velocidades medias sobre pequeños intervalos de tiempo [1, 1+ t ], tomando límite cuando t 0 La función velocidad es la derivada de la función posición. La posición de un objeto en caída libre es: S 0 altura inicial, v 0 velocidad inicial, g -9,8 m/s 2 aceleración gravedad Flujo de un líquido Velocidad y aceleración

7 Reglas básicas de derivación Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva 7 Tema 3. La Derivada. Aplicaciones y representación gráfica de funciones 1.Regla de la constante 2.Regla de las potencias 3.Regla del múltiplo constante 4.Reglas de suma y diferencia 5.Derivadas de las funciones seno y coseno 6.Regla del producto 7.Regla del cociente 8.Derivadas de funciones trigonométricas

8 Derivadas de orden superior Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva 8 Tema 3. La Derivada. Aplicaciones y representación gráfica de funciones Ejemplo a ( t ) es la segunda derivada de s ( t ) Podemos definir derivadas de cualquier orden entero positivo

9 La Regla de la cadena y sus aplicaciones Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva 9 Tema 3. La Derivada. Aplicaciones y representación gráfica de funciones Regla de la cadena Si y = f(u) es una función derivabe de u, y si además u=g(x) es una función derivable de x, entonces y=f(g(x)) es una función derivable, con Aplicaciones 1.Regla general para potencias 2.Derivación de funciones con radicales 3.Derivación de cocientes con numeradores constantes 4.Aplicación de la regla de la cadena a funciones trigonométricas 5.Aplicaciones reiteradas de la regla de la cadena

10 Extremos de una función Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva 10 Tema 3. La Derivada. Aplicaciones y representación gráfica de funciones máximo (2,5) f continua en [-1,2] Sea f definida en un intervalo I que contiene a c 1. f(c) es el mínimo de f en I, si f(c) f(x) para todo x en I. 2. f(c) es el máximo de f en I, si f(c) f(x) para todo x en I. El máximo y mínimo de una funcion en un intervalo son los valores extremos Máximo relativo (0,0) Mínimo relativo (2,-4) 1. Si existe un intervalo abierto que contiene a c y en el que f(c) es máximo, entonces f(c) se llama un máximo relativo de f. 2. Si existe un intervalo abierto que contiene a c y en el que f(c) es mínimo, entonces f(c) se llama un mínimo relativo de f.

11 Números críticos Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva 11 Tema 3. La Derivada. Aplicaciones y representación gráfica de funciones Sea f definida en c. Si f´(c)=0 o si f´ no está definida en c, se dice que c es un número crítico de f. c f´(c)=0 Tangente horizontal c c es un número crítico de f LOS EXTREMOS RELATIVOS SOLO OCURREN EN LOS NÚMEROS CRÍTICOS: Si f tiene un máximo relativo o un mínimo relativo en x=c, c es un número crítico de f f´(c) no está definido

12 Estrategia para localizar extremos relativos en un intervalo cerrado Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva 12 Tema 3. La Derivada. Aplicaciones y representación gráfica de funciones 1. Hallar los números críticos de f en [a,b] 2. Evaluar f en cada número crítico de (a,b) 3. Evaluar f en a y en b 4. El más grande de esos valores es el máximo. El más pequeño es el mínimo. Para hallar los extremos relativos de una función continua f en un intervalo cerrado [a,b] : Ejemplo Hallar los extremos de en el intervalo [-1,3] f´(0) no está definido x=0 punto crítico f´(x)=0 x=1 punto crítico f(a) punto crítico punto crítico f(b) f(-1)=-5 f(0)=0 f(1)=-1 f(3) -0,24 mínimo máximo

13 Teorema de Rolle Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva 13 Tema 3. La Derivada. Aplicaciones y representación gráfica de funciones Sea f continua en el intervalo cerrado [a,b] y derivable en el intervalo abierto (a,b). Si f(a) = f(b) Existe al menos un número c en tal que f´(c)=0 a c b Máximo relativo El teorema de Rolle asegura que existe al menos un punto entre a y b en el que la gráfica de f tiene tangente horizontal a c b Máximo relativo f es continua en [a,b] y derivable en (a,b) f es continua en [a,b] Si se suprime la hipótesis de dervabilidad f tiene un número crítico en (a,b), pero quizá no tenga en el tangente horizontal

14 Teorema del Valor Medio Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva 14 Tema 3. La Derivada. Aplicaciones y representación gráfica de funciones Recta tangente Recta secante a c b (b, f(b)) (a, f(a)) Pendiente de la recta tangente = f´(c) Sea f continua en el intervalo cerrado [a,b] y derivable en el intervalo abierto (a,b), existe un número c en (a,b) tal que Importante teorema del Cálculo; útil para demostrar otros teoremas Geométricamente garantiza la existencia de una recta tangente paralela a la secante que une los puntos (a, f(a)) y (b, f(b)). En términos de ritmo de cambio asegura que debe haber algún punto en (a,b) en el que el ritmo instantáneo de cambio es igual al ritmo medio de cambio en [a,b]

15 Regla de Bernouilli- Hôpital Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva 15 Tema 3. La Derivada. Aplicaciones y representación gráfica de funciones Sean f y g continuas y derivables en un entorno reducido del punto c. Si g no se anula en ningún punto del entorno y las funciones f´y g´no se anulan simultáneamente en ningún punto, en caso de existir también existe y ambos coinciden: La regla de Hôpital también es válida cuando:

16 Una función f es creciente en un intervalo si para cualquier par de número x 1, x 2 del intervalo x 1 x 2 f(x 1 ) f(x 2 ) creciente Funciones crecientes y decrecientes Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva 16 Tema 3. La Derivada. Aplicaciones y representación gráfica de funciones constante decreciente Una función f es decreciente en un intervalo si para cualquier par de número x 1, x 2 del intervalo x 1 x 2 f(x 1 ) f(x 2 ) f´(x) 0f´(x) =0f´(x) 0 Observación La derivada está realacionada con la pendiente de la función

17 Criterio de crecimiento y decrecimiento Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva 17 Tema 3. La Derivada. Aplicaciones y representación gráfica de funciones Sea f continua en [a,b] y derivable en (a,b) [Con a,b, reales, o - ] 1. f´(x) 0, x (a,b) f es creciente en [a,b] 2. f´(x) 0, x (a,b) f es decreciente en [a,b] 3. f´(x) = 0, x (a,b) f es constante en [a,b] Ejemplo Hallar los intervalos abiertos en los que f es creciente o decreciente Nótese que f es continua en toda la recta real. Para hallar sus números críticos, igualamos a cero su derivada Hacer f´=0 Factorizar Números críticos Intervalo Valor prueba Signo de f´(x) Conclusión - x 00 x 11 x x=-1 x=1/2 x=2 f´(-1)=6 0 f´(1/2)=-3/4 0 f´(2)=6 0 creciente decreciente

18 El criterio de la primera derivada Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva 18 Tema 3. La Derivada. Aplicaciones y representación gráfica de funciones Sea c un número crítico de una función f definida en un intervalo abierto (a,b) que contiene a c. Si f es derivable en ese intervalo, excepto quizá en c, entonces f(c) puede clasificarse así: 1. Si f´(x) cambia en c de negativa a positiva, f(c) es un mínimo relativo de f cab f´(x) 0 (-) (+) mínimo relativo cab f´(x) 0 (+) cab f´(x) 0 (-) Ni máximo ni mínimo cab f´(x) 0 (+) (-) máximo relativo 2. Si f´(x) cambia en c de positiva a negativa, f(c) es un máximo relativo de f

19 Aplicación del criterio de la primera derivada Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva 19 Tema 3. La Derivada. Aplicaciones y representación gráfica de funciones Ejemplo Hallar los extremos relativos de Derivando, simplificando y factorizando x = 1 Números críticos, f´(x)=0 x = 0 0 no está en el dominio de f Intervalo Valor prueba Signo de f´(x) Conclusión - x -10 x 11 x x=-2 x=1/2 x=2 f´(-2) 0 f´(1/2) 0 f´(2) 0 decrecientecrecientedecreciente -1 x 0 x=-1/2 f´(-1/2) 0 creciente (-1,2) Mínimo relativo (1,2) Mínimo relativo

20 Concavidad y Convexidad Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva 20 Tema 3. La Derivada. Aplicaciones y representación gráfica de funciones Sea f derivable en un intervalo abierto I. La gráfica de f es cóncava en I si f´es creciente en I y convexa en I si f´es decreciente en I. cóncava f´ creciente La gráfica de f queda por encima de su recta tangente convexa f´ decreciente La gráfica de f queda por debajo de su recta tangente

21 Criterio de concavidad Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva 21 Tema 3. La Derivada. Aplicaciones y representación gráfica de funciones Sea f una función cuya segunda derivada existe en un intervalo abierto I. 1. Si f´´(x) 0 para todo x en I, la gráfica de f es cóncava en I 2. Si f´´(x) 0 para todo x en I, la gráfica de f es convexa en I Localizar los x en los que f´´(x)=0 Localizar los x en los que f´´(x) no está definida Ensayar el signo de f´´ en cada uno de los intervalos de prueba Para aplicar este criterio:

22 Aplicación del criterio de concavidad Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva 22 Tema 3. La Derivada. Aplicaciones y representación gráfica de funciones Ejemplo Hallar los intervalos abiertos para los que la gráfica es cóncava o convexa f es contínua en toda la recta real. Hallamos f´y f´´ f´´ 0 Cóncava f´´ 0 Cóncava f´´ 0 Convexa x = 1 Intervalo Valor prueba Signo de f´´(x) Conclusión - x -11 x x=-2x=2 f´´(-2) 0 f´´(2) 0 cóncava -1 x 1 x=0 f´´(0) 0 convexa

23 Ejemplo Hallar los ptos. de inflexión y discutir la concavidad de Hallamos f´y f´´ Cóncava Convexa x = 0, x = 2 Posibles ptos. de inflexión f está definida y es continua en todos los reales Puntos de Inflexión Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva 23 Tema 3. La Derivada. Aplicaciones y representación gráfica de funciones Si (c,f(c)) es un punto de inflexión de la gráfica de f, entonces o bien f´´(c)=0 o f´´(x) no está definida en x = c Intervalo Valor prueba Signo de f´´(x) Conclusión - x 02 x x=-1x=3 f´´(-1) 0 f´´(3) 0 cóncava 0 x 2 x=1 f´´(1) 0 convexa

24 El criterio de la segunda derivada Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva 24 Tema 3. La Derivada. Aplicaciones y representación gráfica de funciones Sea f una función tal que f´(c)=0 y cuya segunda derivada existe en un intervalo abierto que contiene a c. 1. f´´(c) 0, entonces f(c) es un mínimo relativo 2. f´´(c) 0, entonces f(c) es un máximo relativo Si f´´(c) = 0, este criterio no decide y ha de recurrirse al criterio de la primera derivada cóncava f´(c) = 0, f´´(c) 0 c convexa c f(c) es mínimo f´(c) = 0, f´´(c) 0 f(c) es máximo

25 Aplicación del criterio de la segunda derivada Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva 25 Tema 3. La Derivada. Aplicaciones y representación gráfica de funciones Ejemplo Hallar los extremos relativos de Mínimo relativo Los números críticos de f : x = -1, 1, 0 Punto (-1,-2) f´´(-1) = 30 0 f´´(0 ) = 0 El criterio no decide f´´(1) = (-1,-2) Mínimo relativo (1,2) Máximo relativo Conclusión Signo de f´´ ( 1, 2 ) ( 0, 0 ) Máximo relativo Calculamos la derivada Criterio de la 1ª derivada Como f crece a la izda y dcha de x=0, no es máximo ni mínimo

26 Problemas de aplicación de máximos y mínimos Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva 26 Tema 3. La Derivada. Aplicaciones y representación gráfica de funciones Un ganadero desea trasladar al matadero su producción de cerdos. El transportista cobra 1,20 por cabeza si traslada en cada camión 20 cerdos exactamente, mientras que si traslada más de 20 le descuentan 5 céntimos por cada uno que pase de 20. Hallar el número de cerdos que el transportista propondrá trasladar al ganadero para obtener el máximo beneficio Estrategia 1. Asignar signos a todas las magnitudes 2. Escribir una ecuación primaria para la magnitud que debe ser optimizada 3. Reducir la ecuación primaria a una ecuación con solo una variable independiente. Esto puede exigir ecuaciones secundarias que relacionen las variables independientes de la ecuación primaria 4. Determinar el dominio de la ecuación primaria. Esto es, hallar valores para los que la ecuación primaria tiene sentido B´´(x)= -10 0, x=2 máximo Se transportarán 22 cerdos x número de cabezas de más a partir de 20 B(x)=(20+x)(120-5x) Beneficio que deseamos maximizar 5. Determinar el máximo o mínimo mediante las técnicas de Cálculo estudiadas B´(x)= (120-5x)+(20+x)(-5)= -10x+20= 0 x=2

27 Análisis de Gráficas Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva 27 Tema 3. La Derivada. Aplicaciones y representación gráfica de funciones Conceptos estudiados útiles al analizar gráficas de funciones Dominio y recorrido Intersección con los ejes Simetrías Continuidad Asíntotas Derivabilidad Extremos relativos Concavidad y convexidad Puntos de inflexión

28 Bibliografía Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva 28 Tema 3. La Derivada. Aplicaciones y representación gráfica de funciones Cálculo y Geometría Analítica Larson, Hostetler, Eduards. Volumen 1, 1999 (6ª edición), Ed. McGraw-Hill Ejercicios y problemas Problemas de Matemáticas para ingeniería técnica agrícola y veterinaria Alejandre, Allueva,González. Tomo 1, 2000 Ed. Copy Center Zaragoza (C/. Doctor Cerrada nº 2)


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