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MATEMÁTICAS I Elaborado por: Beatriz Barranco IES Rey Pastor Curso 2012/2013.

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1 MATEMÁTICAS I Elaborado por: Beatriz Barranco IES Rey Pastor Curso 2012/2013

2 Bloque IV: Análisis. Caracterización de funciones elementales Límites y continuidad Cálculo de derivadas Aplicaciones de las derivadas Representación de funciones polinómicas y racionales

3 Funciones elementales: características generales. Una función f(x) es la relación entre dos conjuntos numéricos en la que no hay ningún número (x) del dominio que tenga más de una imagen (y). Dominio [Dom f(x)]: campo de existencia de una función (valores de x que tienen imagen). Se lee de izquierda a derecha. Recorrido [Im f(x)]: conjunto de imágenes que corresponden al dominio de la función (valores de y). Se lee de abajo a arriba. Dom f(x) = [-5,4] Im f(x) = [-3,3]

4 Funciones elementales: características generales. Representación de una función: representación de las parejas de valores (x,y) que relaciona dicha función en un eje de coordenadas. Puntos de corte: pareja de valores (x,y) en los que al menos una de las coordenadas es cero. Los cortes con el eje x solo tendrán valor en la coordenada x (y=0) y los cortes con el eje y solo tendrán valor en la coordenada y (x=0). Puntos de corte eje x Puntos de corte eje y

5 Funciones elementales: características generales. Crecimiento y decrecimiento: intervalos de la función en los que el valor de y aumenta al aumentar x (crecimiento) e intervalos en los que el valor de y disminuye al aumentar x (decrecimiento). Máximos y mínimos: puntos en los que la función pasa de crecimiento a decrecimiento (máximo) o viceversa (mínimo). Pueden ser relativos o absolutos. Máximo Mínimo

6 Funciones elementales: características generales. Continuidad: la línea que une sus puntos no se corta en ningún punto. Simetría: una función es simétrica (par) cuando a x y a –x les corresponde la misma imagen, y es antisimétrica (impar) cuando a x y a –x le corresponde la misma imagen pero cambiada de signo. Periodicidad: las imágenes se repiten cada cierto intervalo de x. El espacio entre dos valores de x con la misma imagen se denomina periodo. DiscontinuaPeriódica y parImpar

7 Funciones elementales: características generales. Asíntotas: rectas a las que se aproxima la función sin llegar nunca a tocarlas. Concavidad y convexidad: forma de la curvatura de la función. Punto de inflexión: punto en el que la función cambia de cóncava a convexa o viceversa. Punto de inflexiónAsíntotas

8 Funciones elementales: Funciones lineales: corresponden a expresiones polinómicas de primer grado y su representación gráfica es una recta. F(x) = mx + n ¿Qué debo saber de una función lineal? –Dominio: la x puede tener cualquier valor, por lo que Dom f(x) = |R –Recorrido: la y [f(x)], también puede tener cualquier valor, por lo que Im f(x) = |R –Puntos de corte: para hallar el corte con el eje x, se iguala la y a cero; para hallar el corte con el eje y, se iguala la x a cero. –Crecimiento y decrecimiento: si la pendiente es positiva será creciente y si es negativa, decreciente. –Máximos y mínimos: no tiene. –Continuidad: es continua. –La pendiente es el número que multiplica a la x (m) y la ordenada en el origen es el número que no tiene x (n). –Para representarla, necesito dos puntos que pertenezcan a la recta (pueden ser los puntos de corte).

9 Funciones elementales: Funciones lineales: ejemplo práctico. F(x) = 3x – 6 –Pendiente: 3 – Representación: –Ordenada en el origen: - 6 –Dominio: |R –Recorrido: |R –Puntos de corte: Corte eje x --> y = 0 ; 0 = 3x – 6 ; 6 = 3x ; 2 = x --> C x (2,0) Corte eje y --> x = 0 ; y = 3·0 – 6 ; y = – 6 --> C y (0,-6) –Crecimiento y decrecimiento: Crece en todo su dominio –Máximos y mínimos: No tiene –Continuidad: Es continua

10 Funciones elementales: Funciones cuadráticas: corresponden a expresiones polinómicas de segundo grado y su representación gráfica es una parábola. F(x) = ax 2 + bx + c ¿Qué debo saber de una función cuadrática? –Dominio: la x puede tener cualquier valor, por lo que Dom f(x) = |R –Recorrido: la y [f(x)] solamente existirá por encima del vértice (si está abierta hacia arriba) o por debajo del vértice (si está abierta hacia abajo). – Puntos de corte: para hallar el corte con el eje x, se iguala la y a cero; para hallar el corte con el eje y, se iguala la x a cero. –Crecimiento y decrecimiento: una rama será creciente y la otra decreciente. –Máximos y mínimos: habrá un máximo o mínimo en el vértice. –Continuidad: es continua. –El vértice se calcula con la siguiente expresión: x = – b/2a (la coordenada y se obtiene sustituyendo la x calculada con la fórmula en la función). –Para representarla, necesito el vértice y al menos un punto a cada lado de él.

11 Funciones elementales: Funciones lineales: ejemplo práctico. F(x) = x 2 – 3x – 6 –Vértice:V (1,5, -8,25) -- Representación: x = -b/2a ; x = -(-3)/2·1 ; x = 3/2 (1,5) y = f(3/2) ; y = (3/2) 2 – 3·3/2 – 6 ; y = – 33/4 (-8,25) –Dominio: |R –Recorrido: [-8,25, + ) –Puntos de corte: Corte eje x --> y = 0 ; 0 = x 2 – 3x – 6 (resolvemos la ecuación de segundo grado) y 1 = 4,4 ; y 2 = -1,4 --> C x1 (4,4, 0) C x2 (-1,4, 0) Corte eje y --> x = 0 ; y = 0 2 – 3·0 – 6 ; y = – 6 --> C y (0,-6) –Crecimiento y decrecimiento: Decrece (-, 1,5] Crece (1,5, + ) –Máximos y mínimos: Mínimo en el vértice V (1,5, -8,25) –Continuidad: Es continua

12 Funciones elementales: Resto de funciones polinómicas: el dominio son todos los números reales y el resto de características las obtenemos de la representación gráfica.

13 Funciones elementales: Funciones racionales: su fórmula es una fracción (x en el denominador) y su representación gráfica es una hipérbola (con posibles variantes).

14 Funciones elementales: Funciones irracionales (con la x dentro de una raíz): solo veremos raíces cuadradas. Debe llevar el signo de la solución de la raíz que quieres representar. Su representación gráfica es una rama de parábola tumbada.

15 Funciones elementales: Funciones logarítmicas y exponenciales: la x está dentro de un logaritmo o en un exponente.

16 Funciones elementales: Ejercicios del libro: –Página 267: 1,2,3,4,7,8 –Página 268: 9

17 Funciones elementales: Funciones definidas a trozos: cada parte de la función corresponderá a alguna de las funciones ya vistas. Para poder hablar de sus características, hay que representarlas. Pasos para la representación:

18

19 Funciones elementales: Funciones valor absoluto: equivalen a una función a trozos, puesto que para quitar el valor absoluto debemos estudiar la expresión en positivo y en negativo. El valor absoluto siempre es positivo, por lo tanto, debemos ver en qué intervalos la función es negativa y cambiarle el signo. El punto en el que debe usarse como está o cambiada de signo viene determinado por el valor de x que anula la expresión.

20 Funciones elementales: Funciones valor absoluto: ejemplo práctico. –Puntos donde se anula la expresión: resuelvo la ecuación de 2º grado. –Estudio los intervalos en los que la expresión será positiva. –Escribo los trozos cambiando de signo la expresión solamente en el intervalo que es negativa. –Represento la función e indico las características que me pidan. –Observación: para hacer el dibujo, puedes representar la función sin valor absoluto y darle la vuelta al intervalo negativo.

21 Funciones elementales: Ejercicios del libro: –Página 268: 11,12 –Página 269: 30,31,32,34,35

22 Funciones elementales: aplicaciones. Obtención de la expresión matemática correspondiente a situaciones reales: Ejemplo: –Clara y Pedro han ido al museo de ciencias de su ciudad. La entrada general les ha costado 3 euros y, por cada actividad adicional, han pagado 2 euros más. Crea una tabla de valores para la función, representa la gráfica y escribe su expresión algebraica. ¿Cuánto habrán pagado si han realizado 5 actividades adicionales? ¿Cuántas actividades han realizado si han pagado 11 euros?

23 Funciones elementales: aplicaciones. Ejercicios: 1.- Juan está estudiando dos ofertas de trabajo como comercial de electrodomésticos que sólo se diferencian en el sueldo. Oferta A: 1050 euros mensuales y 10 euros por cada aparato vendido, hasta un máximo de 20 al mes. Oferta B: 600 euros al mes y 20 euros por cada electrodoméstico vendido. a) Escribe, para cada caso, la expresión algebraica que representa el sueldo mensual de Juan en función del número de electrodomésticos vendidos. b) Calcula el dominio y el recorrido de cada una de las funciones. c) ¿Cuánto ganará en cada trabajo si vende 8 electrodomésticos? 2.- La altura, h, a la que se encuentra en cada instante, t, una piedra que lanzamos verticalmente hacia arriba con una velocidad de 20 m/s es h = 20t – 5t 2. a) Haz una representación gráfica. b) Di cuál es su dominio de definición. c) ¿En qué momento alcanza la altura máxima? ¿Cuál es esa altura? d)¿En qué momento cae la piedra al suelo? e) ¿En qué intervalo de tiempo la piedra está a una altura superior a 15 metros?

24 Funciones elementales: aplicaciones. Ejercicios libro: - Página 270: 45,46,47,48,50 --> Solución ejercicio 2

25 Funciones elementales: transformaciones. Composición de funciones:

26 Funciones elementales: transformaciones. Obtención de la función recíproca (o inversa)

27 Límites y continuidad Límites y límites laterales:

28 Límites y continuidad Límites y límites laterales: representaciones gráficas.

29 Cálculo de límites: –Para calcular un límite, debemos sustituir valores cada vez más próximos al punto donde queremos calcular el límite y ver a qué valor se acercan los resultados. –En la práctica lo que se hace es sustituir el valor en el que se quiere calcular el límite directamente. ¡Ojo! Si la función está definida a trozos, tendré que calcular los límites laterales y ver si coinciden. –Vamos a diferenciar dos casos: cuando la x tiende a un valor concreto y cuando la x tiende a + infinito. –A veces se obtiene la solución directamente, otras veces salen expresiones que no sabemos qué significan, son las indeterminaciones. Debemos saber resolver cada tipo de indeterminación para poder calcular cualquier límite.

30 Límites y continuidad Cálculo de límites: (en un punto finito)

31 Límites y continuidad Cálculo de límites: (en un punto finito)

32 Límites y continuidad Cálculo de límites: (en el infinito) –Para poder resolverlos debemos saber hacer operaciones con el infinito.

33 Límites y continuidad Cálculo de límites: (en el infinito)

34 Límites y continuidad Cálculo de límites: (en el infinito)

35 Límites y continuidad Cálculo de límites: (en el infinito)

36 Límites y continuidad Cálculo de límites: (en el infinito)

37 Límites y continuidad Cálculo de límites: Ejercicios

38 Límites y continuidad Cálculo de límites: Ejercicios

39 Límites y continuidad Cálculo de límites: Ejercicios Ejercicios del libro: - Página 296: 8,9,10,11,12,13,14,15,18,19,21,22.

40 Límites y continuidad Aplicaciones de los límites: obtención de asíntotas. –Asíntotas verticales: son rectas verticales (x = nº) a las que se acerca la función sin llegar a cortarlas.

41 Límites y continuidad Ejemplo de obtención de asíntotas verticales:

42 Límites y continuidad Aplicaciones de los límites: obtención de asíntotas. –Asíntotas horizontales: son rectas horizontales (y = nº) a las que se acerca la función sin llegar a cortarlas.

43 Límites y continuidad Ejemplo de obtención de asíntotas horizontales:

44 Límites y continuidad Aplicaciones de los límites: obtención de asíntotas. –Asíntotas oblicuas: son rectas oblicuas (y = mx + n) a las que se acerca la función sin llegar a cortarlas.

45 Límites y continuidad Ejemplo de obtención de asíntotas oblicuas:

46 Límites y continuidad Calcula las asíntotas de las siguientes funciones:

47 Límites y continuidad Aplicaciones de los límites: continuidad. Siempre que una función es continua se cumplen una serie de condiciones.

48 Límites y continuidad Tipos de discontinuidades: discontinuidad evitable.

49 Límites y continuidad Tipos de discontinuidades: discontinuidad no evitable de salto finito.

50 Límites y continuidad Tipos de discontinuidades: discontinuidad no evitable de salto infinito.

51 Ejercicios resueltos: Límites y continuidad

52 Estudia la continuidad de las siguientes funciones:

53 Funciones elementales: Ejercicios del libro: –Página 297: 23,24,25,26,28 –Página 298: 34,38,39,40

54 Cálculo de derivadas Tasa de variación media y derivada: –La tasa de variación media (TVM) estudia la variación de una función en un intervalo. –La tasa de variación instantánea (TVI) estudia la variación de una función en un punto. Esta variación es lo que llamaremos derivada de la función en ese punto. Representa la pendiente la de recta tangente a la curva en ese punto.

55 Cálculo de derivadas Tasa de variación media:

56 Cálculo de derivadas Tasa de variación instantánea: derivada de la función en un punto.

57 Cálculo de derivadas Fórmulas:

58 Cálculo de derivadas Fórmulas: ejemplos resueltos. Recuerda: la derivada de f(x) = nº es siempre 0

59 Cálculo de derivadas Fórmulas: ejemplos resueltos.

60 Cálculo de derivadas Fórmulas: ejemplos resueltos.

61 Cálculo de derivadas Fórmulas: ejemplos resueltos de funciones compuestas.

62 Cálculo de derivadas Fórmulas: ejemplos resueltos de funciones compuestas. También se puede hacer pasándola a potencia.

63 Cálculo de derivadas Fórmulas: Ejemplos resueltos:

64 Cálculo de derivadas Reglas de derivación: Ejemplos resueltos:

65 Cálculo de derivadas Ejercicios del libro: –Página 320: 15,16,17,18,19,20,21 –Página 321: 22,23,24,25,26,27,28,29,30, 31,32,33,34,35,36,37,30,39

66 Cálculo de derivadas Aplicaciones de las derivadas: ecuación de la recta tangente a la función en un punto. Para obtener la ecuación de la recta necesito el vector y un punto: el vector lo obtengo de la pendiente y la coordenada x del punto es el lugar en el que quiero hallar la recta tangente. La coordenada y la obtendremos sustituyendo en la función. También puedo usar directamente la ecuación punto- pendiente (ver ejemplo).

67 Cálculo de derivadas Aplicaciones de las derivadas: ecuación de la recta tangente a la función en un punto. *Alternativa: - Vector - Punto

68 Cálculo de derivadas Halla la recta tangente en el siguiente caso:

69 Cálculo de derivadas Aplicaciones de las derivadas: –Primera derivada --> cálculo de máximos y mínimos relativos. Estudio del crecimiento y decrecimiento.

70 Cálculo de derivadas Aplicaciones de las derivadas: cálculo máximos, mínimos, crecimiento y decrecimiento. Continuación.

71 Cálculo de derivadas Aplicaciones de las derivadas: cálculo máximos, mínimos, crecimiento y decrecimiento. Continuación.

72 Cálculo de derivadas Halla los máximos y mínimos y estudia el crecimiento y decrecimiento de la siguiente función: * Observación: debemos fijarnos siempre en el dominio. Si la función no existe en un punto, habrá que incluirlo en la recta para el análisis del crecimiento y decrecimiento.

73 Cálculo de derivadas Ejercicios del libro: –Página 321: 44,45,46,47,48,49 –Página 322: 52,54

74 Representación de funciones polinómicas y racionales.

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76 Representamos: -Puntos de corte -Máximos y mínimos -Otros puntos si es necesario

77 Representación de funciones polinómicas y racionales.

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80 Cálculo de derivadas Ejercicios del libro: –Página 322: 55,56,60 –Página 323: 72,73 –Página 324: 75


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