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INSTITUCIÓN EDUCATIVA MANUEL E. MENDOZA El Carmen de Bolívar - Colombia Prof. Lic. JORGE FERRER S. Ferrermiprofe.worpress.com.

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1 INSTITUCIÓN EDUCATIVA MANUEL E. MENDOZA El Carmen de Bolívar - Colombia Prof. Lic. JORGE FERRER S. Ferrermiprofe.worpress.com

2 TRIGONOMETRÍA

3 ÁNGULOS Y SISTEMAS DE MEDICIÓN

4 Concepto de ángulo Es la región del plano situada entre dos semirrectas que tienen un origen común. Las dos semirrectas se llaman LADOS y el origen común se llama VERTICE. Un ángulo se genera (origina) por la rotación de uno de sus lados. B C O

5 Lado inicial Lado final Vértice B C A

6 Formas de nombrar un ángulo Utilizando tres letras mayúsculas: una en un punto de cada lado y la otra en el vértice B C A Leemos ángulo A Se escribe < BAC

7 Escribiendo una letra griega entre los lados β Leemos: ángulo beta Escribimos : < β * Consultar las letras griegas con sus respectivos nombres

8 Colocando una letra mayúscula en el vértice C se escribe : < A ángulo A se lee: ángulo A ángulo B ángulo C A A B

9 Ángulos trigonométricos Ángulos positivos: son aquellos que se generan haciendo la rotación del lado inicial, en sentido contrario a la rotación de las manecillas de un reloj. Lado inicial Lado final 45º

10 Ángulos negativos: son aquellos que se generan haciendo la rotación del lado inicial, en el sentido de la rotación de las manecillas de un reloj. Lado inicial Lado final - 45º

11 Ángulos en Posición Normal Un ángulo está en posición normal si su vértice coincide con el origen del plano cartesiano y el lado inicial con el semieje positivo de las x.

12 Pueden ser: Ángulos del primer ( I ) cuadrante Ángulos del segundo (II) cuadrante Ángulos del tercer (III) cuadrante Ángulos del cuarto (IV) cuadrante III III IV

13 III III IV (x, y) (-, +) (x, y) (+, +) (x, y) (-, -) (x, y) (+, -) x y

14 Ángulos del Primer Cuadrante Un ángulo θ es del primer ( I ) cuadrante si es mayor que 0º y menor que 90º, es decir, 0º < θ < 90º 60º Ej. Θ = 60º I cuadrante

15 Ángulos del segundo Cuadrante Un ángulo θ es del segundo (II) cuadrante si es mayor que 90º y menor que 180º, es decir, 90º < θ < 180º 130º Ej. Θ = 130º II cuadrante

16 Ángulos del tercer Cuadrante Un ángulo θ es del tercer (III) cuadrante si es mayor que 180º y menor que 270º, es decir, 180º < θ < 270º 240º Ej. Θ = 240º III cuadrante

17 Ángulos del cuarto Cuadrante Un ángulo θ es del cuarto (IV) cuadrante si es mayor que 270º y menor que 360º, es decir, 270º < θ < 360º 300º Ej. Θ = 300º IV cuadrante x

18 Ángulo Giro o Completo Es aquel que se genera cuando el lado inicial hace una rotación de una vuelta o un solo giro. Su valor es de 360º. x Θ = 360º Θ

19 Ángulos Complementarios Dos ángulos A y B son complementarios, si la suma de ellos es igual a 90º. Es decir, Si A y B son complementarios, A + B = 90º Ej: 30º y 60º ; 20º y 70º

20 Ángulos Suplementarios Dos ángulos A y B son suplementarios, si la suma de ellos es igual a 180º. Es decir, Si A y B son suplementarios, A + B = 180º Ej: 120º y 60º ; 30º y 150º

21 Ángulos Coterminales Dos ángulos son coterminales si sus lados iniciales y terminales coinciden respectivamente. 100º y 460º 120º y - 240º

22 Ángulo Central Es aquel cuyo vértice es el centro de un círculo y los lados cortan a la circunferencia en uno, o, en dos puntos y x A B C < BAC con arco ByC < BAC con arco BxC

23 SISTEMAS DE MEDIDAS DE ÁNGULOS Sistema Sexagesimal Sistema Cíclico Sistema Centesimal

24 Sistema Sexagesimal Es aquel en el que las unidades varían de 60 en 60 unidades. Unidades : Su unidad principal es el GRADO (º), que se define como la trescientos sesenta ava parte del ángulo giro. 1º = (1/360) del ángulo giro

25 OBSERVEMOS: 1 vuelta completa Ξ 1 ángulo giro = 360º 1 vuelta completa = 360º 1/2 Vuelta = 180º 1/4 de vuelta = 90º 3/4 de vuelta = 270º 0º 90º 180º 270º 360º

26 OTRAS UNIDADES El minuto (´) y el segundo (´´) 1º = 60´ 1´ = 60´´ Medida de una Circunferencia = 360º

27 ACTIVIDADES 1. Expresar en grados, minutos y segundos los siguientes ángulos: A. 40,28º B. 5259´´ C. 325,4´ D. 356´ 125´´ E. 36° 158´ 305´´

28 Sistema Cíclico Llamado también Sistema Circular; porque la medida de los ángulos se hace con referencia al círculo. La unidad de medida utilizada en éste sistema es el Radián.

29 Radián Es la medida del ángulo central que subtiende un arco de longitud igual al radio de la circunferencia. r r r 0 B A Si AB = r, entonces, < O = 1 radián

30 Medida en radianes de una Circunferencia Longitud de la circunferencia mC = radio 2πr mC = = 2 π r mC = 2 π rad

31 Equivalencia entre el sistema sexagesimal y el cíclico 360° = 2 π rad Equivale a decir, 180° = π rad

32 Conversión de unidades

33 De Grados a Radianes 1. Expresar en radianes un ángulo de 30°. Solución: Formamos una regla de tres simple, así : 180° π rad 30° x

34 Luego, 1 3 0° ( π rad) 3 π x = = rad 1 8 0° 18 6 π Por lo tanto, 30° = rad. 6

35 Conclusión: Para expresar de grados a Radianes, multiplicamos la cantidad de grados, por el factor de conversión, π y simplificar, si es posible. 180°

36 Usemos este factor de conversión 2. Expresar en radianes, un ángulo de 150°. Solución: π 150° = 1 5 0° rad 1 8 0° 15 π 5 π 150° = rad = rad. 18 6

37 Ahora, vamos a practicar Expresar en radianes los siguientes ángulos 1. 45° 2. 60° ° ° °

38 De Radianes a Grados 1. Expresar en grados un ángulo de 5 π rad. 4 Solución: Planteamos una regla de tres, similar a la anterior : 180° π rad x 5 π / 4

39 Entonces, 5 π 180° X = π Cancelamos los π, y simplificamos a 180° con el 4, nos queda,

40 45° 90° 5 π 180° X = = 45° x 5 = 225° π Por lo tanto, 5 π / 4 rad = 225°.

41 Conclusión: Para expresar de radianes a grados, multiplicamos la cantidad de radianes, por el factor de conversión, 180° , y simplificar, si es π posible.

42 Usemos este factor de Conversión 2. Expresar en grados un ángulo de 2 π rad. 3 Solución: 60° 2 π 180° 2 π / 3 rad = = 2x60° =120° 3 π 1

43 Ahora, vamos a practicar Expresar en grados los siguientes ángulos 1. π /3 rad 2. 4 π / 3 rad 3. 5 π /12 rad 4. 3 π / 2 rad 5. π / 4 rad


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