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DERIVADAS. Tasa de variación media. Dada la función f en [a,b], se llama tasa de variación media de f en [a,b] Ejemplo.- Un automóvil se mueve según.

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4 Tasa de variación media. Dada la función f en [a,b], se llama tasa de variación media de f en [a,b] Ejemplo.- Un automóvil se mueve según la función e(t) = 2.t 2 ; donde t es el tiempo en segundos y e(t) el espacio que recorre dicho móvil en línea recta en metros. Calcular la velocidad media (tasa de variación) durante los 10 primeros segundos Hay que observar que la tasa media de f en [a,b], es la pendiente de la recta secante a f(x) en los puntos (a,f(a)) y (b,f(b))

5 Si existe TVI(a), lo denominamos DERIVADA DE f(x) EN EL PUNTO a, y se denota por f (a)

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8 Derivadas laterales Denominamos derivadas laterales (izquierda y derecha) de f en x = a, a los límites: La función f es derivable en x = a si y solo si f (a - ) = f (a + ): Ejemplo.- Existe la derivada de f en x = 1, siendo f la función Teniendo en cuenta que Se deduce que f no es derivable en x = 1

9 Derivabilidad y continuidad Si f es derivable en x = a, entonces f es continua en x = a. Hay que observar que: Si f es continua en x = a, no tiene por que ser derivable en x = a. Si f no es continua en x = a, f no es derivable en x = a Ejemplo.- Estudiar la continuidad y derivabilidad de la función valor absoluto. f es continua ya que Sin embargo no es derivable en x = 0, ya que

10 Funciones derivables Si f es derivable en todo número real, decimos que f es derivable. Hay que observar que: Las funciones polinómicas son derivables, al igual que la función sen o cos, o también las funciones exponenciales. Sin embargo no lo son por ejemplo la función tan que tiene discontinuidades de salto infinito, y en esos puntos ni es continua ni derivable

11 La recta tangente y normal Teniendo en cuenta que f (a) (si existe) es la PENDIENTE de la RECTA TANGENTE r tg a la función f, en el punto (a,f(a)), dicha recta será Y teniendo en cuenta que (-f (a)) – 1 (si existe) es la PENDIENTE de la RECTA NORMAL (recta perpendicular a la recta tangente a f) en el punto (a,f(a)) ) r nor a la función f, en el punto (a,f(a)), dicha recta será

12 La recta tangente y normal Ejemplo.- Calcular la recta tangente r y normal s a f(x) = x2 x2 en x = 1

13 Función derivada Dada una función f, llamamos función derivada de f a la que se obtiene mediante el límite Dada una función f, llamamos función derivada segunda de f a la que se obtiene mediante el límite La derivada de la segunda derivada se denomina derivada tercera (f(x)), y así sucesivamente

14 Función derivada Ejemplo.- Si un objeto se según la ecuación de espacio e(t) = 2.t t + 1 metros (t en segundos), calcular su velocidad y su aceleración instantánea

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16 Cálculo de derivadas Derivada de la función constante f(x) = k Ejemplo.- La derivada de la función f(x) =, será f (x) =0 Derivada de la función identidad f(x) = x Ejemplo.- La derivada de la función potencia f(x) = x, será f (x) = 1

17 Cálculo de derivadas Derivada de la función potencia f(x) = x n, con n un número natural En general, también se cumple para n un número racional Ejemplo.- La derivada de la función f(x) = x -3, es f (x) = (-3). x -4

18 Cálculo de derivadas Derivada de la raíz cuadrada f(x) = x

19 Cálculo de derivadas Derivada de la función de proporcionalidad inversa f(x) = 1/x

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25 Reglas de derivación Si y = k.f(x) Ejemplo.- Si y = 3.x 2, será y (x) = 3.(2.x) = 6.x

26 Reglas de derivación Si y = f(x) g(x) Ejemplo.- Si y = x2 x2 + x, será y (x) = 2.x + 1

27 Reglas de derivación Si y = f(x). g(x) Ejemplo.- Si y = (3x 2 ).( x). Será y (x) = (6x). ( x) + (3x 2 ).[1/(2 x)] = (15x 2 ) / (2 x)

28 Reglas de derivación Si y = f(x) / g(x) Ejemplo.- Si y = (x+1) / (x 2 ). Será y (x) = [1.(x 2 ) – (x+1).(2x)] / x4 x4 = - (x+2) / x3x3

29 La regla de la cadena Si y = ( f º g ) (x) = f(g(x)), se cumple: Ejemplo.- Si y = (x 2 +1), denominando f(g) = g y g(x) = x 2 +1, será:

30 Derivadas de las funciones logarítmicas Si y = ln x Ejemplo.- Si y = ln (5x+9). Será

31 Derivadas de las funciones logarítmicas Si y = log a x, como loga x = ln x / a, teniendo en cuenta las reglas de derivación será Ejemplo.- Si y = log 3 (5x+9). Será

32 Derivadas de las funciones exponenciales Si y = ex ex, tomando logaritmos neperianos será Si y = ax ax, como y = e x.ln a será

33 Derivadas de las funciones exponenciales Ejemplo.- Si y = 7 2x. Será Si y = f(x) g(x), como y = e g(x).ln f(x) será

34 Derivadas de las funciones trigonométricas Si y = sen x, aplicando la definición de derivada será Si y = cos x, utilizando el teorema fundamental de trigonometría será

35 Derivadas de las funciones trigonométricas Si y = tg x = sen x / cos x, utilizando las reglas de derivación será Ejemplo.- Si y = cos(ln x), será

36 Derivadas de las funciones trigonométricas inversas Hay que tener en cuenta que como las funciones trigonométricas son periódicas, las funciones inversas, existirán solamente en un intervalo en el cual dicha función sea biyectiva Si y = Arc cos x, razonando de forma análoga al resultado anterior será Si y = Arco sen x, teniendo en cuenta que será sen y = x, será Si y = Arc tg x, será

37 Derivadas de las funciones trigonométricas inversas Ejemplo.- Si y = Arc sen x, será

38 Mas ayuda del tema de la página Matemática de DESCARTES del Ministerio de Educación y ciencia ( ) En la siguiente diapósitiva

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46 Mas ayuda del tema de la página Matemática de GAUSS del Ministerio de Educación y ciencia ( ) En la siguiente diapósitiva

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48 Mas ayuda del tema de la página lasmatemáticas.es Videos del profesor Dr. Juan Medina Molina (http://www.dmae.upct.es/~juan/mate maticas.htm) En la siguiente diapósitiva

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51 Mas ayuda del tema de la página Manuel Sada (figuras de GeoGebra) ( daall/geogebra/) En la siguiente diapósitiva

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