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UNIVERSIDAD DE ORIENTE NUCLEO DE BOLIVAR COORDINACION GENERAL DE ESTUDIOS DE POSTGRADO POSTGRADO EN CIENCIAS ADMINISTRATIVAS MENCION FINANZAS. VII COHORTE.

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1 UNIVERSIDAD DE ORIENTE NUCLEO DE BOLIVAR COORDINACION GENERAL DE ESTUDIOS DE POSTGRADO POSTGRADO EN CIENCIAS ADMINISTRATIVAS MENCION FINANZAS. VII COHORTE MATEMATICA APLICADA A LA ADMINISTRACION CODIGO # SECCION U PROF. HUGAR CAPELLA

2 El deseo de medir y de cuantificar el cambio y la variación, condujo en el siglo XVII hasta la noción de derivada. El estudio de las operaciones con derivadas, junto con las integrales, constituyen el cálculo infinitesimal. Los introductores fueron Newton y Leibnitz, de forma independiente. Los conceptos son difíciles y hasta bien entrado el siglo XIX no se simplificaron. A ello contribuyó la aparición de una buena notación, que es la que usaremos. Las aplicaciones prácticas de esta teoría no dejan de aparecer. 2PROF. HUGAR CAPELLA

3 1. Tasa de variación media Incremento de una función : Sea y = f(x) y a un punto del dominio de f. Suponemos que a aumenta en h, pasando al valor a +h=b, entonces f pasa a valer f(a+h)=f(b), al valor h se le lama incremento de la variable independiente, y a la diferencia entre f(b) y f(a) se le llama el incremento de la función o variable dependiente. Tasa de variación media Llamamos tasa de variación media (o tasa media de cambio) T.V.M., de la función y =f(x) en el intervalo [a, b] al cociente entre los incrementos de la función y de la variable, es decir: T.V.M. [a, b] = 3 PROF. HUGAR CAPELLA

4 Ejemplo 1. Halla la tasa de variación media de la función f(x) =x 2 +3 en el intervalo [0,3] Solución T.V.M. [0, 3] = 4PROF. HUGAR CAPELLA

5 Consideremos un valor x (que puede ser positivo o negativo). La tasa de variación media en el intervalo [x, x +Δx] seríavariación media Nos interesa medir la tasa instantánea, es decir el cambio cuando la Δx tiende a cero, es decir : Tasa de variación instantánea. La derivada A este valor se le llama la derivada de la función f en el punto a y se designa por por lo tanto, la derivada de una función en un punto es el límite de la tasa de variación media cuando el incremento de la variable tiende a 0. 5PROF. HUGAR CAPELLA

6 6 La pendiente o gradiente de una curva cualquiera en un punto se define como la pendiente de la tangente (recta que toca a la curva sólo en dicho punto). En la figura, la pendiente de la curva en A es la pendiente de la recta AT, que es la tangente a la curva en A. Esta pendiente se puede aproximar por la de la recta AB, que une A y B, un punto cercano de la curva. La pendiente de AB es k/h. Si B se acerca hacia A, tanto k como h tienden a 0, pero su cociente tiende a un determinado valor, que es la pendiente de AT. El cálculo diferencial se ocupa de calcular la pendiente de las curvas y = f(x) en todos sus puntos m#TASAMEDIA B A k h

7 PROF. HUGAR CAPELLA7 si f(x) es creciente en x=a, entonces f ´(a)>0 (recta tangente con pendiente positiva). si f(x) es decreciente en x=a, entonces f ´(a)<0 (recta tangente con pendiente negativa). si f(x) presenta un máximo o mínimo en x=a, entonces f ´(a)=0 (recta tangente horizontal).

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9 Función derivada. Reglas de derivación. Cálculo de derivadas 9

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13 Regla del producto y regla la cadena PROF. HUGAR CAPELLA13 Ejemplo: y= (5x 2 -3x)(2x 3 +8x+7) REGLA DEL PRODUCTO REGLA DE LA CADENA Calcule dy/dx si y=(x 2 +1) 5 sea u=x 2 +1

14 APLICACIONES: ANALISIS MARGINAL EL FABRICANTE DE CIERTO ARTICULO DESCUBRE QUE A FIN DE PRODUCIR X DE ESTOS ARTICULOS, EL COSTO TOTAL EN BsF ESTA DADO POR: C = ,03X 2 SI SE PRODUCEN 100 ARTICULOS A LAS SEMANA EL COSTO ES : C=200+0,03(100) 2 = 500 BsF EL COSTO PROMEDIO POR ARTICULOS ES 500/100= BsF 5 SI REQUIERE CAMBIAR LA TASA DE PRODUCCION DE 100 A (100+ ΔX) UNIDADES A LA SEMANA, ΔX REPRESENTA EL INCREMENTO EN LA PRODUCCION. C+ΔC=200+0,03(100+ ΔX) 2 = 500+6ΔX+0,03ΔX 2 EL COSTO EXTRA POR LA PRODUCCION DE ARTICULOS ADICIONALES ES : ΔC= (C+ΔC) – C = 500+6ΔX+0,03ΔX = 6ΔX+0,03ΔX 2 EL COSTO PROMEDIO POR ARTICULO DE LAS UNIDADES EXTRAS ES 14PROF. HUGAR CAPELLA

15 COSTO MARGINAL DEFINICION: ES EL VALOR LIMITE DEL COSTO PROMEDIO POR ARTICULO EXTRA CUANDO ESTE NUMERO DE ARTICULO TIENDE A CERO. 15PROF. HUGAR CAPELLA

16 Ejemplo: Costo marginal Sea la función de costo C(x)= 0,001x 3 -0,3x 2 +40x+1000 a) Determine el costo marginal como una función de x, es decir C´(x) b) Evalúe el costo marginal cuando la producción este en 50 artículos. 16PROF. HUGAR CAPELLA

17 INGRESO Y UTILIDAD MARGINALES Ingreso marginal: Si R(x) denota el ingreso de una determinada empresa derivados de la venta de productos o servicios entonces R ´ (x) = dR/dx es el ingreso marginal y representa la entrada adicional por articulo adicional producido Utilidad Marginal: La utilidad esta dada por la diferencia entre sus ingresos y sus costos. Si P(x) denota a la utilidad, P(x) = R(x) –C(x); entonces la utilidad marginal es P´(x) 17PROF. HUGAR CAPELLA

18 Ejemplo: Utilidades marginales pag 519 # 20. EL EDITOR DE UNA REVISTA DESCUBRE QUE SI FIJA UN PRECIO DE BSF 1 A SU REVISTA, VENDE EJEMPLARES AL MES; SIN EMBARGO, SI EL PRECIO FIJADO ES DE BsF 1,5 SUS VENTAS SOLO SERAN EJEMPLARES. EL COSTO DE PRODUCIR CADA EJEMPLAR ES DE BsF 0,80 Y TIENE COSTOS FIJOS DE BsF AL MES. SUPONIENDO UNA ECUACION DE DEMANDA LINEAL, CALCULE LA FUNCION UTILIDAD MARGINAL Y DETERMINE EL PRECIO DE LA REVISTA QUE HAGA LA UTILIDAD MARGINAL IGUAL A CERO. EVALUE LA UTILIDAD MISMA CUANDO EL PRECIO ES a) BsF 1,8 b) BsF 1,90 c) BsF 2 18PROF. HUGAR CAPELLA

19 Máximos y mínimos relativos (o locales) de funciones derivables Si una función tiene un máximo o mínimo relativo (o local) se dirá que tiene un extremo relativo. Condición necesaria de extremo Proposición. Si f es derivable en el punto a y f tiene en a un extremo relativo, entonces f (a)=0. 19PROF. HUGAR CAPELLA

20 Consideremos la función f( x ) = x 3 + 3x 2 - 1, cuya gráfica se muestra a continuación. La derivada de esta función es f `( x ) = 3x 2 + 6x. Podemos observar que la gráfica tiene un valor máximo y un valor mínimo, y es claro que la recta tangente a esos máximo y mínimos su pendiente será cero, como lo indica la siguiente gráfica 20PROF. HUGAR CAPELLA

21 ¿Cuáles son esos puntos? Dichos puntos deben satisfacer la ecuación f `( x ) = 0, que en nuestro caso es 3x 2 + 6x = 0 cuyas soluciones son x 1 = -2 y x 2 = 0. Gráficamente vemos que el punto x 1 = -2 otorga un valor máximo, y el punto x 2 = 0 corresponde a un mínimo, ¿pero cómo lo podemos determinar analíticamente? Notemos que si evaluamos en la función original los valores de f( x* - h ) y f( x* + h ), siendo x* solución de la ecuación f `( x* ) = 0 tenemos que f( x* - h ) f( x* + h ), el punto x* es un máximo f( x* - h ) > f( x* ) y f( x* ) < f( x* + h ), el punto x* es un mínimo De tal manera que con estos criterios, efectivamente obtenemos que -2 es un máximo y 0 es un mínimo para la función. 21PROF. HUGAR CAPELLA

22 EJEMPLO: UTILIDAD MAXIMA PAG. 605 #21. UNA EMPRESA VENDE TODAS LAS UNIDADES QUE PRODUCE A BsF 4 CADA UNA. EL COSTO TOTAL DE LA EMPRESA POR PRODUCIR X UNIDADES ESTA DADO POR C = 50+ 1,3X + 0,001X 2 a) ESCRIBA LA EXPRESIÓN PARA LA UTILIDAD TOTAL U COMO UNA FUNCIÓN DE X b) DETERMINE EL VOLUMEN DE LA PRODUCCION X DE MODO QUE LA UTILIDAD P SEA MAXIMA. c) CUAL ES EL VALOR DE LA UTILIDAD MAXIMA. SOLUCION: INGRESO R(X) PROF. HUGAR CAPELLA22

23 EJEMPLO: PUBLICIDAD Y GANANCIA PAG. 600 UNA COMPAÑÍA OBTIENE UNA UTILIDAD DE BsF 5 POR CADA ARTICULO DE SU PRODUCTO QUE VENDE. SI GASTA A DOLARES POR SEMANA EN PUBLICIDAD, EL NUMERO DE ARTICULOS QUE VENDE ESTA DADO POR: X= 2000(1-e -kA ) en donde k= 0,001. DETERMINE EL VALOR DE A QUE MAXIMIZA LA UTILIDAD NETA. PROF. HUGAR CAPELLA23

24 ELASTICIDAD DE LA DEMANDA PROF. HUGAR CAPELLA24 Sea x el numero de unidades que se adquirirán a un precio p variables relacionadas funcionalmente) CUANDO Δp TIENDE A CERO ENTONCES Si η<-1 demanda es elástica (cambio porcentual en la demanda es mayor que el cambio porcentual en el precio) -1<η<0 demanda inelástica (cambio porcentual en la demanda es menor que el cambio porcentual en el precio) η=-1 demanda unitaria (Un pequeño cambio porcentual en el precio es igual que el cambio porcentual en la demanda)

25 Elasticidad y logaritmos PROF. HUGAR CAPELLA25 Del cuadro resumen de derivadas tenemos: La función ingreso marginal esta dada por R(x) = cantidad vendida por precio)=xp El ingreso marginal R´ (x) = d(xp)/dx = p+ x dp/dx

26 Ejemplo: Elasticidad de la demanda Si la relación de demanda es x = p. Calcule la elasticidad de la demanda cuando a) p=5 b) p=10 c) p=15 PROF. HUGAR CAPELLA26

27 Ejemplo: Elasticidad. Con respecto a la relación de demanda x = k(1-p-p 2 ) determine el valor de p que hace a η= -1. Encuentre los valores de p para los cuales la demanda es: a) elástica b ) inelástica Solución: para η= -1 3p 2 +2p -1 = 0 ec. De 2do grado p= 1/3 p=-1 Demanda elástica. η<-1 Demanda inelástica -1<η<0 PROF. HUGAR CAPELLA27


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