Damas chinas (Mzelle Laure) Ecuaciones polinómicas no lineales. Inecuaciones lineales y cuadráticas Descomposición de polinomios. Ruffini. Factorización de polinomios. Fracciones algebraicas. Resolución de ecuaciones no lineales. Ecuaciones racionales. Ecuaciones irracionales. Resolución geométrica de ecuaciones. Inecuaciones lineales de una variable. Inecuaciones cuadráticas. Resolución de problemas. Damas chinas (Mzelle Laure)

Descomposición de polinomios. Regla de Ruffini La descomposición de un polinomio permite hallar sus raíces y estudiar su comportamiento. (x-a) divide a P(x) si P(a)=0. Si P(x) tiene coeficientes enteros y a es raíz entera, a divide al término independiente. La regla de Ruffini permite obtener la división de P(x) por (x-a) fácilmente, Una raíz puede tener multiplicidad mayor que 1, por lo que la regla de Ruffini se debe volver a aplicar a una raíz. Cuando se obtiene un cociente de 2º grado, conviene resolver la ecuación asociada. Un polinomio puede tener raíces imaginarias (los números complejos se estudiarán en el tema 5 de la 2ª Unidad). El cálculo directo de raíces racionales de un polinomio no se exige en este curso.

Factorización de polinomios Las ecuaciones polinómicas se resuelven “fácilmente” descomponiendo el polinomio en producto de factores. La ecuación producto se resuelve igualando cada factor a 0 . Fracciones algebraicas Para operar con fracciones algebraicas conviene tener muy en cuenta las identidades algebraicas.. Cuando hay varios denominadores se considera el m.c.m. de ellos. En bastantes ocasiones no es necesario multiplicar todos los que aparecen: m.c.m.(x2-1,x-1,x+1)=x2-1. En 2º de Bachillerato necesitarás descomponer una fracción en suma de fracciones simples. Aunque no es materia de este curso, se considera conveniente dar dos ejemplos de este método..

Ecuaciones no lineales Se (sobre)entiende por ecuaciones no lineales las polinómicas de grado mayor o igual que 2. Las ecuaciones producto son aquellas en las que aparece un producto de factores igualado a 0. Se resuelven igualando a 0 cada factor. El método general para resolver ecuaciones polinómicas no lineales consiste en hallar algunas raíces para obtener la descomposición en producto de factores. Resolución geométrica Las raíces de la ecuación f(x)=0 son las abscisas de los puntos de corte de la gráfica de y=f(x) con el eje OX. Las raíces de la ecuación f(x)=g(x) son las abscisas de los puntos de intersección de las gráficas de y=f(x) y de y=g(x). Conocer la forma aproximada de la gráfica de una función simplifica la comprensión de un problema. La gráfica de una función polinómica siempre es continua y, para valores grandes de x (positivos o negativos), toma valores que “tienden” a infinito (positivo o negativo). Se aconseja volver a mirar las gráficas que aparecen en este tema y estudiar cómo afecta a la función el exponente de la raíz (su multiplicidad) en la forma de cortar al eje OX en éstas. En algunos casos, para hacerse idea sobre la forma de la gráfica ayuda mucho la tabla de signos (ver el apartado de Inecuaciones).

Ecuaciones racionales Una ecuación es racional si en su expresión aparece, al menos, una fracción con la variable en su denominador. Se resuelven operando las fracciones algebraicas y reduciendo a la forma las soluciones se obtienen de P(x)=0. También se pueden eliminar los denominadores multiplicando toda la ecuación por el m.c.m. de todos ellos. Si alguna de las soluciones obtenidas anula algún denominador de la ecuación original, no es válida, por lo que debe descartarse. Ecuaciones irracionales Las ecuaciones irracionales contienen alguna raíz con la variable en el radicando. Aunque no hay un método general de resolución, se intenta eliminar las raíces aislando una de ellas en uno de los miembros y elevando al cuadrado (o al cubo,...). Hay que tener en cuenta que al elevar al cuadrado se suelen introducir soluciones no válidas (debe discutirse la validez de las mismas al final del problema).

Inecuaciones lineales Con las inecuaciones se opera de forma similar a como se hace con las ecuaciones. Si se multiplican los dos miembros de la inecuación por un número negativo, hay que cambiar la desigualdad de signo. En general, se pasan todos los términos al primer miembro y se resuelve la ecuación asociada. Inecuaciones cuadráticas Si se trata de una función polinómica de grado mayor que 2, se hallan todas sus raíces reales y se utiliza la tabla de signos. Siempre conviene representar la gráfica de la función para determinar mejor la solución.

Resolución de problemas Método a seguir: Leer / entender bien el problema. Plantear la ecuación o ecuaciones. Resolver las mismas. Si son de grado mayor que 2 buscar raíces enteras entre los divisores del término independiente y aplicar la regla de Ruffini. Discutir la validez o no de las soluciones. Si el problema se resuelve con una inecuación, recordar que el producto por negativos cambia la desigualdad de signo. Si se puede, y se sabe, conviene representar la gráfica de la función o funciones que intervienen en la inecuación. La gráfica ayuda muchas veces a entender e interpretar el problema y sus soluciones..