INECUACIONES.

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1 INECUACIONES

2 DESIGUALDAD: INECUACIÓN:
Es una expresión que indica que una cantidad es mayor o menor que otra. INECUACIÓN: Es una desigualdad en la que hay una o mas cantidades desconocidas (incógnitas) y que sólo se verifica para determinados valores de las incógnitas. Ejemplo: x <  ( - oo , 2 ) x ≥ - 4  [ - 4 , + oo )

3 Inecuaciones con una incógnita
Una inecuación es toda desigualdad en la que intervienen incógnitas o valores desconocidos. En las desigualdades se emplean símbolos que es necesario saber leer e interpretar. Signo: Se lee: x < x es siempre MENOR que - 3 x ≤ x es MENOR o IGUAL que 5 x > x es siempre MAYOR que 7 x ≥ x es MAYOR o IGUAL que - 2

4 Inecuación lineal Ejemplos: 5
Corresponde a una desigualdad condicionada, es decir, se busca el conjunto de valores que al reemplazarlos en la variable, cumpla con la desigualdad. Ejemplos: 7 √5-x a) La expresión representa un número real si: 5 - x > 0 5 > x x es un número real menor que 5, o bien, x Є ] -∞, 5 [ Gráficamente: 5 -∞ +∞

5 b) x 2 6x -2 5 ≥ 1 - (Multiplicando por 10) (Simplificando) 10 ∙ 6x -2 5 x 2 - 10 ∙ 10 ≥ 2(6x – 2) ≥ 5x - 10 (Desarrollando) 12x – 4 ≥ 5x - 10 12x – 5x ≥ 7x ≥ -6 7 x ≥ -6

6 Se cumple para todo x mayor o igual que
7 -6 , ,+∞ o bien, x Є 7 -6 Gráficamente: -∞ +∞ 7 -6

7 IR c) 7x – 8 ≥ 4x – 16 + 3x + 4 7x – 8 ≥ 7x - 12 – 8 ≥ - 12
En este caso, la incógnita se ha eliminado. Sin embargo, la desigualdad resultante es verdadera. Esto significa que la inecuación se cumple para cualquier x en los reales. Gráficamente: +∞ -∞ IR

8 d) 6x + 11 2 < 3x / ∙ 2 6x + 11 < 6x 11 < 0 En este caso, la incógnita también se ha eliminado; pero la desigualdad resultante es FALSA. Esto significa que la desigualdad no se cumple, ya que NO existe un x real que satisfaga la inecuación. El conjunto solución de la inecuación es el conjunto vacío:

9 SOLUCIONES DE UNA INECUACIÓN
Las soluciones de una inecuación son los valores que pueden tomar las incógnitas, tales que al sustituirlos en la inecuación la desigualdad sea cierta. Ejemplos: x > 4  x = 5 es solución; también x = 6, x = 7, etc x2 – 4 < 0  x = 1 es solución; también x = - 1 , x = 0, etc EQUIVALENCIA DE INECUACIONES Dos o más inecuaciones son equivalentes cuando tienen la misma solución. x > 4 y x – 4 > son inecuaciones equivalentes. x2 – 4 < 0 y (x + 2).(x – 2) < son equivalentes.

10 GRÁFICAS DE SOLUCIONES DE INECUACIONES:
x ≥ 4  x ≥ 4 – 2  x ≥ 2 Solución = [ 2, + oo ) Como x puede valer 2, se empleará intervalos semicerrados. En la gráfica, la inclusión del 2 se representa por un punto sólido. 2.- 2x < x  2x – x <  x < - 5 Solución = ( - oo, - 5 ) Como x no puede valer - 5, se empleará intervalos abiertos. En la gráfica, la exclusión del - 5 se representa por un punto hueco. R 2 R - 5

11 Resolución de inecuaciones
PRINCIPIOS DE EQUIVALENCIA Si a los dos miembros de una inecuación se les suma o resta un mismo número o expresión algebraica, resulta una inecuación equivalente a la dada. Si x – 3 > 1  x – >  x > 4 Si a los dos miembros de una inecuación se les multiplica por un número real positivo, resulta una inecuación equivalente a la dada. Si x / 3 < 5  3. x / 3 <  x < 15 Si a los dos miembros de una inecuación se les multiplica por un número negativo, resulta una inecuación equivalente a la dada, pero con el signo de desigualdad contrario al de la inecuación original. Si - x < 3  (- 1).( - x ) > (- 1).3  x > - 3

12 RESOLUCIÓN DE INECUACIONES
Sean las inecuaciones: x ≥ x ≤ x x > x + 2 SOLUCIONES: x ≥ 4  x ≥ 4 – 2  x ≥ 2 Solución = [ 2, + oo ) 2.- 2x < x  2x – x <  x < - 5 Solución = ( - oo, - 5 ) 3.- x > x  x - x > 2  > FALSO Solución = Ø (Conjunto vacío)

13 RESOLUCIÓN DE INECUACIONES
Sea la inecuación: 2 – x x – 3 – > x SOLUCIÓN: 6(2 – x) – 5( x – 3 ) > x 30 – 6x – 5x > 30x 87 > 41x  x < 87/41 Solución = (- oo , 87/41)

14 RESOLUCIÓN DE INECUACIONES
Sean las inecuaciones: x – x < SOLUCIONES: (x – 1) x < (x – 1) < 5.x x – < 5.x – < 5.x – 3.x < 2.x  x > 13,5 5.- Solución = ( 13,5 , oo )

15 RESOLUCIÓN DE INECUACIONES
Sean las inecuaciones: ≥ 4 x + 1 SOLUCIONES: (x+1) ≥ 0 (x+1) – 4.(x + 1) ≥ 0 – x ≥ 0  Las raíces de numerador y denominador son el 1 y el -1 6.- Se estudia el signo en (-oo, -1), (- 1, 1] y [1, +oo) 6.- Solución = ( - oo, 1 ] – { - 1}

16 Inecuaciones CUADRÁTICAS
Una inecuación de segundo grado o inecuación cuadrática es la que tiene la forma: ax2 + bx + c ≤ 0 , ( o ≥ 0, o > 0, o < 0) Siendo a > 0 siempre. Para resolverlas se hallan las dos raíces, tomada la expresión como una ecuación, x1 y x2 . Luego se factoriza el polinomio característico: (x - x1).( x - x2 ) ≤ 0 ó (x - x1).( x - x2 ) ≥ 0 Y por último se halla el signo de cada factor en cada uno de los siguientes intervalos: (-oo, x1), ( x1 , x2 ) y ( x2, +oo) La solución será un intervalo abierto o cerrado si las raíces halladas, x1 y x2 , pertenecen o no a la solución del sistema.

17 Ejemplo 1 - + + - - + Resuelve la inecuación: x2 - 5x + 6 ≤ 0
Se hallan las dos raíces: x1 = 2 , x2 = 3 Se factoriza el polinomio: (x - 2).( x - 3 ) ≤ 0 Se halla el signo de cada factor: - oo oo ( x – 2 ) ( x – 3 ) Productos En [ 2, 3 ] el producto es NEGATIVO ( < 0 ), luego Solución = x ε [ 2, 3 ]

18 Ejemplo 2 - - + - + + Resuelve la inecuación: x2 + 3x - 10 > 0
Se hallan las dos raíces: x1 = 2 , x2 = - 5 Se factoriza el polinomio: (x - 2).( x + 5 ) > 0 Se halla el signo de cada factor: - oo oo ( x – 2 ) ( x + 5 ) Productos En (-oo.-5) y en ( 2, +oo) el producto es POSITIVO ( > 0 ), luego Solución = { V x ε R / x ε ( -oo, -5 ) U ( 2, +oo ) }

19 Ejemplo 3 - + - + Resuelve la inecuación: x2 + 2x + 1 < 0
Se hallan las dos raíces: x1 = -1 , x2 = - 1 Se factoriza el polinomio: (x + 1 ).( x + 1 ) < 0 Se halla el signo de cada factor: - oo oo ( x +1 ) ( x + 1 ) Productos No hay ningún intervalo cuyo producto sea NEGATIVO, luego Solución = Ø