FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS Esta presentación no pretende sustituir las explicaciones del profesor, sino que está pensada como complemento de las mismas y ayuda para el estudio.

IDEAS BÁSICAS: IDEAS BÁSICAS: ¿Qué es raíz de un polinomio? ¿Qué es un factor irreducible? ¿Qué relación hay entre raíces y factores? ¿Cómo se buscan las raíces? ¿Cómo se factoriza un polinomio?

Raíz de un polinomio P(x) Raíz de un polinomio P(x) Decimos que un número “a” es raíz del polinomio P(x) cuando el valor numérico P(a)=0

Ejemplo: Ejemplo: Comprueba que a = 2 y b = 1, son ambas raíces del polinomio P(x) mientras que c = -1 no lo es. P(x) = x 2 - 3x + 2

Factor irreducible Factor irreducible El polinomio P(x) = x 2 - 3x + 2 puede escribirse así: P(x) = (x – 2)(x – 1) (x-2) y (x-1) son los factores irreducibles de P(x)

Relación entre raíces y factores Relación entre raíces y factores Si nos fijamos en el ejemplo anterior, podemos ver que los factores se construyen de esta forma: Raíz Factor asociado x = 2 (x-2) x = 1 (x-1)

Búsqueda de raíces Búsqueda de raíces Si conocemos una raíz, conocemos inmediatamente su factor asociado. Por tanto, nuestro objetivo inmediato es encontrar las raíces. ¿Cómo?

Búsqueda de raíces Búsqueda de raíces Tenemos que encontrar todos aquellos números “a” que hagan P(a)=0 Pero, ¿quiénes pueden ser esos números “a” y cómo los encontraremos?

Hay varias ideas que usadas adecuadamente nos resolverán el problema de hallar las raíces: Hay varias ideas que usadas adecuadamente nos resolverán el problema de hallar las raíces: TEOREMA DEL RESTO: TEOREMA DEL RESTO: “El resto de la división de un polinomio P(x) entre el binomio (x-a), coincide con el valor numérico P(a)” “El resto de la división de un polinomio P(x) entre el binomio (x-a), coincide con el valor numérico P(a)” En otras palabras, podemos escribir: P(x) x-a Resto C(x) Resto = P(a) Por tanto, si el resto de la división es cero, P(a)=0 “a” es una raíz de P(x).

¿Pero hay algún método que nos permita hacer la división P(x) : (x-a) de modo rápido y sencillo? ¿Pero hay algún método que nos permita hacer la división P(x) : (x-a) de modo rápido y sencillo?

La regla de Ruffini

La regla de Ruffini no es otra cosa que un método muy rápido para hacer divisiones como ésta: (x 2 – 3x + 2) : (x – 2)

La regla de Ruffini no es otra cosa que un método muy rápido para hacer divisiones como ésta: ¿Cómo? (x 2 – 3x + 2) : (x – 2)

¿Cómo? (x 2 – 3x + 2) : (x – 2) escribimos aquí este número

¿Cómo? (x 2 – 3x + 2) : (x – 2)

Al hacer la división, vemos que el resto es cero. Al hacer la división, vemos que el resto es cero Como el resto de la división P(x) : (x-2) es cero, “2” es una raíz de P(x) y por lo tanto, (x-2) es uno de los factores irreducibles del polinomio P(x) Ahora buscamos otra raíz para conseguir otro factor, y así sucesivamente, hasta que los tengamos todos… (x 2 – 3x + 2) : (x – 2)

¿Pero tenemos algún criterio para escoger las “presuntas” raíces antes de lanzarnos a hacer divisiones por el método de Ruffini?

Sí lo hay (al menos para las raíces que sean números enteros)

“Las raíces enteras de un polinomio P(x), son siempre divisores de su término independiente” Por tanto, buscaremos las raíces tanteando con esos divisores, como en el ejemplo siguiente:

Ejemplo: ¿Cuáles pueden ser las raíces enteras del polinomio ? ¿Cuáles pueden ser las raíces enteras del polinomio P(x) = - 3x 5 + 4x 2 – 5x -3 ? Respuesta: La posibles raíces enteras sólo pueden ser los números +1, -1, +3 y -3 Ahora es el momento de utilizar la regla de Ruffini para hacer de modo rápido las siguientes divisiones: P(x):(x-1)P(x):(x+1)P(x):(x-3)yP(x):(x+3) º ( x-(-1) )( x-(3) )

Para factorizar un polinomio P(x) necesitamos conocer sus raíces Para factorizar un polinomio P(x) necesitamos conocer sus raíces Raíces 2, -1 y 3 1º Factor: (x-2) 2º Factor: (x+1) 3º Factor: (x-3)

Ejercicio: Factorizar el polinomio Ejercicio: Factorizar el polinomio Sus posibles raíces son : +1, -1, +2, -2, +3, -3, +6, -6 P(x) = x 3 -4x 2 + x + 6

Posible raíz ¿Es raíz? Sí/NO Factor asociado +1NoSí(x+1) +2Sí(x-2) -2No +3Sí(x-3) -3No +6No -6No

Ahora ya podemos escribir la expresión factorial de Ahora ya podemos escribir la expresión factorial de P(x) = x 3 -4x 2 + x + 6 P(x) = x 3 -4x 2 + x + 6 = (x+1)(x-2)(x-3)

En resumen: ¿qué procedimientos podemos utilizar para encontrar raíces? En resumen: ¿qué procedimientos podemos utilizar para encontrar raíces? Si sospechamos que el número “a” es una raíz de P(x), tenemos tres posibles opciones para comprobarlo: Si sospechamos que el número “a” es una raíz de P(x), tenemos tres posibles opciones para comprobarlo: 1.Dividimos P(x) : (x-a). Si el resto es cero, “a” es raíz. 1.Dividimos P(x) : (x-a). Si el resto es cero, “a” es raíz. (uso de la regla de Ruffini) 2.Sustituimos la “x” del polinomio, por el número “a” (la “presunta” raíz). Si P(a)=0, concluimos que “a” es raíz. 2.Sustituimos la “x” del polinomio, por el número “a” (la “presunta” raíz). Si P(a)=0, concluimos que “a” es raíz. (definición de raíz de un polinomio) 3. Igualamos P(x)=0 y resolvemos la ecuación 3. Igualamos P(x)=0 y resolvemos la ecuación (especialmente cuando el polinomio es de segundo grado)

Esquemáticamente, podemos escribir: P(x) Posibles raíces: Divisores del término independiente: a, b, c… a es raízb no es raíz (x – a) es factor

P(x) Posibles raíces: Divisores del término independiente: a, b, c… a es raízb no es raíz (x – a) es factor Si el resto de la división es cero,… P(x) x-a 0 C(x)

P(x) Posibles raíces: Divisores del término independiente: a, b, c… a es raízb no es raíz (x – a) es factor Si el valor numérico del polinomio es cero… P(a) = 0

P(x) Posibles raíces: Divisores del término independiente: a, b, c… a es raízb no es raíz (x – a) es factor Si “a” es una solución de la ecuación P(x) = 0

Así que, cuando conozcamos todas las raíces del polinomio P(x), digamos a, b, c, etc… Los factores serán: (x-a), (x-b), (x-c), etc…