Método de la matriz adjunta para el cálculo de matriz inversa ALGEBRA LINEAL Método de la matriz adjunta para el cálculo de matriz inversa Ing. Sergio A Nieto

CONTENIDO Introducción Formulación Pasos de cálculo Ejemplo Verificación de resultados

INTRODUCCIÓN Como pudimos ver en el recurso sobre inversa de una matriz puede aplicarse un método basado en determinantes conocido como el método de la matriz adjunta para poder calcular la inversa de una matriz no singular (invertible); en esta presentación realizaremos un ejemplo paso por paso del cálculo mencionado

FORMULACIÓN Recordemos que el método de la matriz adjunta nos dice: 𝐴 −1 = 1 𝐷𝑒𝑡 𝐴 𝐴𝑑𝑗(𝐴) Donde la matriz Adjunta (simbolizada por Adj(A)) se calcula transponiendo la matriz de cofactores de la matriz original ( 𝐶 𝐴 ), esto es: 𝐴𝑑𝑗(𝐴)= 𝐶 𝐴 𝑡

Pasos de cálculo Calcular el determinante de la matriz (si el determinante es cero la matriz no es invertible) Calcular todos los cofactores de la matriz Armar la matriz de cofactores (organizar los cofactores en una matriz según posición) Transponer la matriz de cofactores (A esta matriz resultante se le llama matriz Adjunta) Calcular la matriz inversa

Ejemplo Para mostrar en detalle el proceso recurriremos a un ejemplo con una matriz de tercer orden: Dada la matriz 𝐴= 1 −2 1 2 1 3 −2 0 2 calcule la matriz inversa:

Proceso de solución Calcular el determinante de la matriz: Al ser una matriz de tercer orden podemos aplicar el método de Sarrus: 𝐷𝑒𝑡 𝐴 =2+0+12+2−0+8=24 Como el determinante no es nulo la matriz es invertible y podemos proceder con los demás pasos del proceso de cálculo Calcular todos los cofactores de la matriz: Para esto debemos recordar que: 𝐴 𝑖,𝑗 = −1 𝑖+𝑗 𝐷𝑒𝑡( 𝑀 𝑖,𝑗 )

𝐴 1,1 = (−1) 1+1 𝐷𝑒𝑡 1 3 0 2 =2 𝐴 1,2 = (−1) 1+2 𝐷𝑒𝑡 2 3 −2 2 =−10 𝐴 1,3 = (−1) 1+3 𝐷𝑒𝑡 2 1 −2 0 =2 𝐴 2,1 = (−1) 2+1 𝐷𝑒𝑡 −2 1 0 2 =4 𝐴 2,2 = (−1) 2+2 𝐷𝑒𝑡 1 1 −2 2 =4 𝐴 2,3 = (−1) 2+3 𝐷𝑒𝑡 1 −2 −2 0 =4 𝐴 3,1 = (−1) 3+1 𝐷𝑒𝑡 −2 1 1 3 =−7 𝐴 3,2 = (−1) 3+2 𝐷𝑒𝑡 1 1 2 3 =−1 𝐴 3,3 = (−1) 3+3 𝐷𝑒𝑡 1 −2 2 1 =5

3. Calcular la matriz de cofactores: Ahora ordenamos los cofactores según sus subíndices (posición) en una nueva matriz llamada matriz de cofactores: 𝐶 𝐴 = 2 −10 2 4 4 4 −7 −1 5 4. Calcular la matriz adjunta: Transponiendo la matriz de cofactores 𝐴𝑑𝑗 𝐴 = 2 4 −7 −10 4 −1 2 4 5

5. Calcular la matriz inversa: Aplicando 𝐴 −1 = 1 𝐷𝑒𝑡 𝐴 𝐴𝑑𝑗 𝐴 Para el ejemplo: 𝐴 −1 = 1 24 2 4 −7 −10 4 −1 2 4 5 Multiplicamos y simplificamos de ser posible: 𝐴 −1 = 1 12 1 6 − 7 24 − 5 12 1 6 − 1 24 1 12 1 6 5 24

Verificación de resultados Por último es muy recomendable revisar que los cálculos se hicieron de manera correcta, para esto usaremos la siguiente propiedad: 𝐴𝑥 𝐴 −1 =𝐼 En otras palabras: Si multiplicamos la matriz original (A) por su correspondiente matriz inversa ( 𝐴 −1 ) debemos obtener una matriz identidad (I)

1 −2 1 2 1 3 −2 0 2 𝑥 1 12 1 6 − 7 24 − 5 12 1 6 − 1 24 1 12 1 6 5 24 = 1 12 + 10 12 + 1 12 1 6 − 2 6 + 1 6 − 7 24 + 2 24 + 5 24 2 12 − 5 12 + 3 12 2 6 + 1 6 + 3 6 − 14 24 − 1 24 + 15 24 − 2 12 +0+ 2 12 − 2 6 +0+ 2 6 14 24 +0+ 10 24 = 1 0 0 0 1 0 0 0 1

Como vemos que se genera una matriz identidad significa que el cálculo es correcto y la matriz inversa de la matriz A es efectivamente: 𝐴 −1 = 1 12 1 6 − 7 24 − 5 12 1 6 − 1 24 1 12 1 6 5 24