x o  yoyo Q o = C x  C y T x  tg a C x en Q o T y  tg a C y en Q o T x y T y determinan un único plano:  t PLANO TANGENTE a S en Q o  : x = x o TxTx QoQo TyTy t t C x  x- curva  : y = y o C y  y -curva

z CxCx TyTy QoQo TxTx tt P o ( x o ; y o ) S en P o (x o ; y o )

T x : Z – z o = B ( y - y o ) ( recta en  : x = x o ) ECUACIÓN DEL PLANO TANGENTE Q o (x o ; y o ; z o )   t   t  = (a ; b ; c)  t : Si c  0, dividiendo por c se obtiene:  t : T x = π t  T x : (1) Z y z  y z y yoyo Δz=BΔz=B TxTx z Δ y =1 zozo  ( x = x o ) QoQo CxCx x a?; b? ; c? A?; B?  t QoQo tt TxTx  ( x = x o ) = 0 por geom  B = m T x  B = f y (x o ; y o ) por calc. dif.  m T x = f y (x o ; y o )

( x = x o ) T y ) Z – z o = A ( x – x o )  recta en π : y = y o A = m T y A = f x (x o ; y o ) m T y = f x (x o ; y o ) T x ) Z – z o = B ( y - y o )  recta en π : x = x o B = f y (x o ; y o )  t : Z - z o = f x (x o ; y o ). (x - x o ) + f y (x o ; y o ). (y - y o ) TyTy TxTx QoQo t ) t ) Idem:  t : Z = z o + f x (x o ; y o ). (x - x o ) + f y (x o ; y o ). (y - y o )

¿ existen.las derivadas parciales de f en P o (0;0) ??. Calculamos “por def.”  y = f (x) (función escalar) ; “ existe f´ (x o )  f continua en x o ”.  z = f (x; y) (campo escalar): “ existen f x (P o ) y f y (P o )  f continua en P o ”  Ejemplo 1 : sea z = f (x; y) V F  existen f x (0;0) y f y (0;0) Pero … f no es continua en (0; 0)

f (x; y) = (1) por la recta y = x : f (x; x) = ½,  x  0 ; luego, f (x; x)  ½ cuando x  0. (2) por la recta y = ½ x : Si (x; y)  (0;0) … ¿qué hace f (x;y) ?? ¿tiene un “comportamiento definido??; ¿tiende a f (0; 0)?. O sea, ¿es continua en (0;0)? 1/2 2/5 y = ½ x y = x Conclusión: si (x; y)  (0;0) por rectas distintas ; f (x;y) tiende a valores distintos.  no existe el límite de f para (x; y)  (0;0) ; f no es continua en (0;0) f (x; ½ x) = 2/5,  x  0 ; luego, f (x; ½ x)  2/5 cuando x  0.

Vimos que:  “ existe f´ (x o )  f diferenciable en x o ” ( existe df (x o ) ) DIFERENCIABILIDAD DE CAMPOS ESCALARES  z = f (x; y) Recuerdos: d efinimos “diferencial de f en x o ”: df (x o ) =  “ si f diferenciable en x o entonces. el diferencial y, dy, es una buena aproximación del incremento en y,  y, con Si y = f (x) es “derivable en x o ” ; o sea, existe ó; dy = f ´ (x O ). dx  y = f ´ (x o ).  x + .  x, con   0 para  x  0 “propiedad” del diferencial de f para 1-variable que “sugiere” la forma de definir diferencial de f para 2- variables.

 z = f (x; y), P o (x o ; y o ) ; si existen f x (P o ) y f y (P o ), ¿ f será “diferenciable” en P o ?  ¿¿ f diferenciable en P o ??. Para seguir debemos definir diferenciabilidad de f. Esto se hace llevando a 2- variables lo visto en 1-variable P o (x o ; y o ). P o (  z = f (x; y) - f (x o ; y o ) ) ;

Demostración: f diferenciable en (x o ; y o )  Luego:  f continua en (x o ; y o )  ( ) q.e.d = 0    Definida “diferenciablidad de f ”, volvemos a la pregunta: ¿¿ existencia de f x (P o ) y f y (P o )  f “diferenciable” en P o ??. Para contestarla necesitamos algunos resultados, que vemos ahora.

SI !!! (ej 1.)  !! ABSURDO !! 

 Teo 2 

Es decir, que el “ incremento de f ” es aproximadamente igual al “ diferencial total de f ”. 1) 2) 3)  f diferenciable (TEO 2)  = + “despreciable”

el dz z = x x y – y 2 = d z = 0.65 ( z = f (x; y) = x x y – y 2 )  Δz = f ( 2+Δx ; 3+Δy ) - f ( 2 ; 3 )

(TEO 2)  f diferenciable RECUERDOS

(x; y) D yoyo x y (x o ;y o ) zozo (x o ;y o )  z o = f (x o ;y o )  P o  S (x ; y)  z = f (x ;y )  Q  S zozo P o (x ; y)  t S Q z T z dz xoxo Δ z = z - z o s zz (x ; y)  z tal que T (x;y; z )   t Pero

z ≈ z o + dz z z - z o (x; y) (x o ;y) (x o ;y o ) zo zo ΔzΔz Q (x;y; z o ) (x;y; z ) zo zo ε s s P ++ z ++ + ε PoPo dz TT ++

P +

V = V (r; h) con V (r; h) = r = 10 r v = 10 + Δr ε r = | r - r v | = |Δr | ε r (máx.) = 0.1  |Δr| ≤ 0.1 h = 25 h v = 25 + Δh ε h = | h - h v | = | Δ h | ε h (máx.) = 0.1  |Δ h | ≤ 0.1 Se informa: r = 10 ± 0.1 Se informa: h = 25 ± 0.1 V = V (10 ;25) = 2600 V v = V (10 + Δr ; 25 + Δh ) ε V = | V - V v | ε V = | Δ V | ≈ | dV | r = 10 ΔrΔr h = 25 ΔhΔh | | | ≈ 63 (cm 3 ) ≤ | dV | ≤ 63  ε V (máx.) = 63 | | | ≤ | |

V = V (r; h) con V (r; h) = r = 10 r v = 10 + Δr ε r (máx.) = 0.1  |Δr| ≤ 0.1 h = 25 h v = 25 + Δh ε h (máx.) = 0.1  |Δ h | ≤ 0.1 ε V = |Δ V | ≈ |dV| ≤ 63  ε V (máx.) = 63  V v = V ± 63  | V v - V | ≤ 63  V- 63 ≤ V v ≤ V + 63 V = V (10;25) ≈ 2600  2537 ≤ V v ≤ 2663 r = 10 ΔrΔr h = 25 ΔhΔh | ≈ 63 (cm 3 ) ≤ | ε rel = ε % = %

V = V (r; h) con V (r; h) = r = 10 r v = 10 + Δr ε r (máx.) = 0.1  |Δr| ≤ 0.1 h = 30 h v = 30 + Δh ε h (máx.) = 0.1  |Δ h | ≤ 0.1 ε V = |Δ V | ≈ |dV| ≤ 15  ε V (máx.) = 15  V v = V ± 15  | V v - V | ≤ 15  V- 15 ≤ V v ≤ V + 15 V = V (10;25) ≈ 208  193 ≤ V v ≤ 223 r = 10 ΔrΔr h = 6 ΔhΔh | ≈ 15 (cm 3 ) ≤ | ε rel = ε % = %