f : D ------ R / D  R 3 (x;y;z) w = f (x; y; z)  yz  xy D P (x;y;z) f w = f (x; y; z) R R3R3.

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4 f : D ------ R / D  R 3 (x;y;z) w = f (x; y; z)  yz  xy D P (x;y;z) f w = f (x; y; z) R R3R3

5 ( x; y; z )  D  existe ln (z - x)  z – x > 0 f : D ------ R / D  R 3 (x;y;z) w = f (x; y; z) { } (2; -1 ; 0) f (2; -1; 0) = ln (0+1) + 2 (-1). sen 0 = 0 (x; y;z) f (x; y; z) = ln (z- y) + x y sen z f : D R  yz r) z= y  ) z= y D

6 f : D ------ R / D  R 3 ( x; y; z ) w = f ( x; y; z ) graf f = { ( x; y; z ; w )  R 4 / ( x; y; z )  D ; f (x; y;z) = w } Superficies de nivel: S k = { (x; y; z)  R 3 / f (x; y;z) = k } es siempre el mismo.

7 S1S1 S4S4 S9S9 S k = { (x; y; z)  R 3 / f (x; y;z) = k } S k = { ( x; y; z )  R 3 / x 2 + y 2 + z 2 = k } (k>0)  Sup. Esféricas

8 f : D ------ R P ( x 0 ; y 0 : z 0 )  D ; D  R 3 ( x; y; z ) w = F ( x; y; z )

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11 f : R 2  R (campo escalar) (x;y)  z = f (x; y) : R 2  R 2 (campo vectorial) ( s;t )  ( s;t ) = (x; y) / x = g (s; t) y = h (s; t) k (s;t) = f o (s;t) = f ( g (s;t ); h (s;t ) ) k : R 2  R (s;t)  z = k (s; t) t R2R2 y (x,y) (s,t) R2R2 R f z  s s  s s  s s R 2 (x,y)  R z R z f s x (campo escalar) k z =

12 f : R 2  R (campo escalar) (x;y)  z = f (x; y) : R 2  R 2 (campo vectorial) ( s;t )  ( s;t ) = (x; y) / x = g (s; t) y = h (s; t) k (s;t) = f o (s;t) = f ( g (s;t ); h (s;t ) ) k : R 2  R (s;t)  z = k (s; t) t R2R2 y (x,y) (s,t) R2R2 R f z  s s  s s  s s R 2 (x,y)  R z R z f x (campo escalar) k z =

13 k (u;v) = f o (u;v) = f ( x (u;v); y (u;v); z (u;v); t (u;v) ) k : R 2  R (u;v)  w = k (u; v) (u;v) = ( x ; y ; z ; t ) / 4 vs. intermedias (x; y; z; t)  4 sumandos en cada derivada parcial

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15 f : R 2  R (campo escalar) (x;y)  z = f (x; y) ( s;t ) = (x; y) / x = 3s.t 2 y = s.t +2 k (s;t) = f o (s;t) = f ( g (s;t ); h (s;t ) ) t R2R2 y (6;4) (s,t) R2R2 R f z s x Hallar la  z/  t (s o ; t o ) si se sabe que f x (6;4) = 2 ; f y (6;4) = 3 k 6 4 (x;y) (6;4) (s;t) z = (s;t) (2;1) (x;y) 2 3 (s;t)(2;1) 2 12 ( 2;1) = 30

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17 rograma nformáticopara e posición del ducador rograma nformático para e posición del ducador

18 ¡¡¡ BUEN DÍA!!! ¿¿ Trabajamos un poco ?? Si realizamos la siguiente experiencia: - calentamos un tiempo una placa metálica y luego retiramos la fuente de calor.  P - En ese preciso momento indicamos con  la temperatura en cada punto P de la placa.  depende de P  función P  = f ( P ) Vemos que,  depende de P ; o sea,.  es función P  = f ( P ). PLACA METALICA Nos preguntamos entonces ;  f (P) ¿ si  = f (P) ?    P  ºC  = 75 ºC P  ºC  = 60 ºC  f ¿¿¿ podremos conocer f ???

19 Para obtener una función que permita calcular la temperatura en cada punto de la placa, acudimos a un laboratorio de física convenientemente equipado y realizamos la siguiente experiencia: Conectamos la placa a una interfaz que actúa como traductora; o sea,. lee la temperatura en cada punto de la placa y muestra, punto y. temperatura, en la pantalla de un monitor adosado a ella;  ºC ) º C  - Fijamos una temperatura (  =75 ºC ) y hacemos que el aparato..... detecte (en la placa) y muestre en pantalla,.. “ los puntos de la placa, cuya temperatura sea, 75 º C ”.  ºC ; ºC ; ºC ; ºC ; ºC  Realizamos este proceso con distintas temperaturas:.  = 36 ºC ; 64 ºC ; 75 ºC ; 84 ºC ; 96 ºC ;  guardamos los registros gráficos obtenidos. -  - Trabajamos con esta información para hallar la función que nos interesa.  .  75º.. .  P REGISTRO

20 Dada una curva: ¿ qué propiedad física. caracteriza sus puntos?; ¿qué nombre se le. da entonces, en física y en química ?. f ( )= Si f ( x,y )= 75 ; ¿qué nombre se le da a. esta curva, en matemática? ¿ Qué tipo de curvas parecen ser ?. Todos tienen la misma temperatura. La curva es una ´isoterma´ CURVAS de NIVEL de f ¿ Verificamos esto ? > Rta > Rta Parecen ELIPSES > Rta DERIVE Acudimos a DERIVE

21 Temperatura= 84ºC ECUACIONES DE LAS ELIPSES : DERIVE Temperatura= 36ºC Temperatura= 96ºC Temperatura= 75ºC Temperatura= 64ºC  Estas ecuaciones: ¿ permiten relacionar  con (x, y) ? Estas ecuaciones NO resultan útiles a los efectos de desnudar la relación “temperatura-punto” que buscamos; no presentan ninguna regularidad o semejanza que permita hacer conjetura alguna. De esta forma obtenemos la temperatura en función de (x,y) ; pero, ¡¡¡ tenemos una función distinta para cada temperatura !!!!! 96. ( ) 84. ( ) 75. ( ) 64. ( ) 36. ( ) 21/4 x 2 + 21 y 2 = 84 3 x 2 + 12 y 2 = 75 16/9 x 2 + 64/9 y 2 = 64 9/16 x 2 + 96 y 2 = 36 24 x 2 + 96 y 2 = 96 f (x, y ) x 2 + 4 y 2 = 36 x 2 + 4 y 2 = 64 x 2 + 4 y 2 = 25 x 2 + 4 y 2 = 16 x 2 + 4 y 2 = 4 f (x, y ) x 2 + 4 y 2 x 2 + 4 y 2 Intentamos relacionarlas con la temperatura a través de multiplicar c/ ecuación por la temperatura que la origina. 4. ( ) 16. ( ) 25. ( ) 36. ( ) 64. ( ) FUNCIÓN DE LA TEMPERATURA.... ¡¡¡ y lo logramos !!!. La expresión que relaciona x e y es siempre la misma; pero,..... ¡¡ el término independiente ya no es la temperatura !! ¿ Será al menos, FUNCIÓN DE LA TEMPERATURA ? Intentamos otro camino: expresar las curvas de nivel como curvas correspondientes a una misma función.

22 INDUCIMOS (por inspección de las ecuaciones obtenidas), SI EXISTE ALGUNA RELACIÓN ENTRE EL TÉRMINO INDEPENDIENTE ( t.i.) y LA TEMPERATURA (  ) Temperatura = 96ºC x 2 + 4 y 2 = 4 Temperatura = 84ºC x 2 + 4 y 2 = 16 Temperatura = 75ºC x 2 + 4 y 2 = 25 Temperatura = 64ºC x 2 + 4 y 2 = 36 Temperatura = 36ºC x 2 + 4 y 2 = 64 = 100 - 96 = 100 - 84 = 100 - 75 = 100 - 64 = 100 - 36 Observamos que: t.i. +  = 100 Luego: t.i. = 100 -   = 100 -x 2 - 4y 2 Temperatura =  ºC x 2 + 4 y 2 = ? 100 -   t.i 96 4 84 16 75 25 64 36 36 64

23 CONCLUSIONES CONCLUSIONES

24 Una partícula `buscadora de calor´ ( se mueve en la dirección de máxima variación de τ ). parte de P 0 (4,2). La partícula determina una ´trayectoria´ sobre la placa. Observamos como, de que forma, esta trayectoria atraviesa las curvas de igual temperatura y formulamos una conjetura : las atraviesa en forma ´´perpendicular´´ ¿ cómo investigamos este supuesto ?: 1.- Encontramos las ecuaciones. de las curvas ortogonales,. a las curvas de nivel. obtenidas experimentalmente. 2.- Verificamos si alguna de. ellas es la recorrida por. la partícula. ¿ Vemos como se mueve ?

25 C C* TRAYECTORIA ORTOGONAL ¿cómo la hallamos ? Para ello comenzamos por recordar el concepto de trayectoria ortogonal a una familia de curvas. “ Dada una familia de curvas, y = f (x, k), decimos que C* es ortogonal a la misma, si atraviesa en forma  perpendicular , a todas y cada una de las curvas de la familia ”. ¿ cómo detectamos curvas ortogonales ?: - graficamos dos curvas ortogonales, C y C*, - investigamos cual es la propiedad matemática que caracteriza tal hecho. Sea t, tangente a C. en P (4,2) Sea n, normal a C. en P (4,2) Observamos que : Sabemos que: Concluimos que: n, normal a C, resulta tangente a C * ; luego, las respectivas rectas tangentes son perpendiculares  m  = - 1 / m m (pendiente de la recta tangente) = derivada de la función calculada en el punto. y  ´ = - 1 / y ´ (*) Buscamos y  : calculamos y ´, ( derivada de C, curva de la familia dato ), y reemplazamos en (*) obtenemos una ecuación en y  ´, ( derivada de la curva ortogonal) ; o sea, una ecuación diferencial para y . Resolviendo la ecuación diferencial, hallamos y 

26 Volvemos a nuestro problema ¿Cuál es la familia de curvas en este caso ?: las curvas de nivel correspondientes a t(x,y) = 100 - x 2 - 2 y 2 F : 100 - x 2 - 2 y 2 = c Resolvemos con DERIVE: # 1: derivamos implícitamente en F # 1: IMP_DIF ( x 2 + 2 y 2 =c, x, y, 1) # 2: # 3: buscamos -1 / y´ # 2: y ´ = - 0.5 x / y # 3: ( - 0.5 x / y ) -1 = 2 y / x # 4: planteamos la ec. dif. de la flia ortogonal # 5: la resolvemos como Lineal de 1er orden # 6 : # 4: y ´ = 2 y / x  y´ - 2/x y = 0 # 5: LINEAR1_GEN ( 2 / x, 0, x, y, c ) # 7: buscamos la curva que pasa por P(4,2) # 6: y = c x 2 # 6: y = x 2 / 8... y la graficamos !!!...... Y LA TRAYECTORIA DE NUESTRA PARTÍCULA BUSCADORA DE CALOR RESULTA SER ORTOGONAL A LA FAMILIA DE ISOTERMAS

27 Volvemos a nuestro problema ¿Cuál es la familia de curvas en este caso ?: las curvas de nivel correspondientes a t(x,y) = 100 - x 2 - 2 y 2 F : 100 - x 2 - 2 y 2 = c Resolvemos con DERIVE: # 1: derivamos implícitamente en F # 1: IMP_DIF ( x 2 + 2 y 2 =c, x, y, 1) # 2: # 3: buscamos -1 / y´ # 2: y ´ = - 0.5 x / y # 3: ( - 0.5 x / y ) -1 = 2 y / x # 4: planteamos la ec. dif. de la flia ortogonal # 5: la resolvemos como Lineal de 1er orden # 6 : # 4: y ´ = 2 y / x  y´ - 2/x y = 0 # 5: LINEAR1_GEN ( 2 / x, 0, x, y, c ) # 7: buscamos la curva que pasa por P(4,2) # 6: y = c x 2 # 6: y = x 2 / 8... y la graficamos !!!

28 Volvemos a nuestro problema ¿Cuál es la familia de curvas en este caso ?: las curvas de nivel correspondientes a t(x,y) = 100 - x 2 - 2 y 2 F : 100 - x 2 - 2 y 2 = c Resolvemos con DERIVE: # 1: derivamos implícitamente en F # 1: IMP_DIF ( x 2 + 2 y 2 =c, x, y, 1) # 2: # 3: buscamos -1 / y´ # 2: y ´ = - 0.5 x / y # 3: ( - 0.5 x / y ) -1 = 2 y / x # 4: planteamos la ec. dif. de la flia ortogonal # 5: la resolvemos como Lineal de 1er orden # 6 : # 4: y ´ = 2 y / x  y´ - 2/x y = 0 # 5: LINEAR1_GEN ( 2 / x, 0, x, y, c ) # 7: buscamos la curva que pasa por P(4,2) # 6: y = c x 2 # 6: y = x 2 / 8... y la graficamos !!!