Apuntes de Matemáticas 1º ESO U.D. 9 * 1º ESO ECUACIONES @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 1º ESO

IDENTIDADES Y ECUACIONES U.D. 9.1 * 1º ESO IDENTIDADES Y ECUACIONES @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 1º ESO

Apuntes Matemáticas 1º ESO ECUACIONES Una ecuación es una igualdad que sólo se verifica ( es verdad) para algunos valores de la variable. EJEMPLOS ¿Para qué valores de x se verifican las ecuaciones siguientes?: x = 3  Solución: Si x = 3 x – 1 = 4  Solución: Si x = 5 2.x + 1 = 5  Solución: Si x = 2 x2 = 9  Solución: Si x = 3 y si x = – 3 x3 = – 8  Solución: Si x = – 2 x2 = – 4  Solución: No hay (por ahora) @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 1º ESO

Apuntes Matemáticas 1º ESO ECUACIONES Los miembros de una ecuación son cada una de las expresiones algebraicas que hay antes y después del signo igual. El de la izquierda se llama primer miembro y el de la derecha segundo miembro. EJEMPLOS ¿Cuál es el primer y segundo miembro de las ecuaciones siguientes?: Ecuación Primer miembro Segundo miembro x + 5 = 3 x + 5 3 – 1 + 2.x = x – 3 – 1 + 2.x x – 3 x2 – 4 = 0 x2 – 4 0 4 = x3 + 4 4 x3 + 4 @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 1º ESO

Apuntes Matemáticas 1º ESO ECUACIONES La incógnita de una ecuación es la variable o cantidad desconocida. Una raíz o solución de una ecuación es el valor de la incógnita que verifica la ecuación. Resolver una ecuación es hallar el valor o valores de la incógnita para los cuales se verifica la ecuación. EJEMPLOS ¿Cuáles son las raíces o soluciones de las ecuaciones siguientes?: 3.x – 3 = 9  Solución: x = 4 x2 = 4  Solución: x = 2 y si x = – 2 x3 – 8 = 0  Solución: x = 2 @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 1º ESO

Apuntes Matemáticas 1º ESO ECUACIONES Comprobar una ecuación es sustituir la raíz en la ecuación y comprobar que en el primer miembro se obtiene el mismo resultado que en el segundo. EJEMPLOS ¿Cuáles de los siguientes números: 1 , – 2, 3 , – 5 son solución de la ecuación siguiente: 2.x – 5 = 3 + 6.x ?: Ecuación Primer miembro Segundo miembro 2.x – 5 = 3 + 6.x 2.1 – 5 = – 3 3 + 6.1 = 9  El 1 no 2.x – 5 = 3 + 6.x 2.(– 2) – 5 = – 9 3 + 6.(– 2)= – 9  El – 2 sí 2.x – 5 = 3 + 6.x 2.3 – 5 = 1 3 + 6.3 = 21  El 3 no 2.x – 5 = 3 + 6.x 2.(– 5)– 5 = – 15 3 + 6.(– 5) = – 27  El –5 no @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 1º ESO

Apuntes de Matemáticas 1º ESO IDENTIDADES FÓRMULA Es una expresión algebraica mediante la cual se obtienen valores de la misma para diferentes valores de la variable o variables. P = 4.x  Para x = 3  P = 4.3  P = 12 S = x2 – 4  Para x = 5  S = 52 – 4  S = 25 – 4 = 21 ECUACIÓN Es una igualdad algebraica que sólo se cumple para uno o varios valores concretos de la incógnita o incógnitas que intervienen: 2x = 4  Sólo para x = 2 x2 = 4  Sólo para x = 2 y para x = - 2 IDENTIDAD Es toda igualdad que siempre se cumple, sea cual sea el valor de la incógnita o incógnitas: x = x (x – 2).(x + 2) = x2 – 4 (x + 3)2 = x2 + 6.x + 9 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 1º ESO

Apuntes de Matemáticas 1º ESO PRODUCTOS NOTABLES Hay identidades que son muy importantes en matemáticas. Se llaman productos notables por su forma. Los más frecuentes son tres: ( x + y )2 = x2 + 2.x.y + y2 ( x – y )2 = x2 – 2.x.y + y2 ( x + y ) . ( x – y ) = x2 – y2 Veamos algunos ejemplos de verificación: ( 3 + 2 )2 = 32 + 2.3.2 + 22  52 = 9 + 12 + 4  25 = 25 ( 4 + 5 )2 = 42 + 2.4.5 + 52  92 = 16 + 40 + 25  81 = 81 ( 7 + 1 )2 = 72 + 2.7.1 + 12  82 = 49 + 14 + 1  64 = 64 Con otro producto notable: ( 3 – 2 )2 = 32 – 2.3.2 + 22  12 = 9 – 12 + 4  1 = 13 – 12  1 = 1 ( 5 – 3 )2 = 52 – 2.5.3 + 32  22 = 25 – 30 + 9  4 = 34 – 30  4 = 4 ( 2 – 7 )2 = 22 – 2.2.7 + 72  (– 5)2 = 4 – 28 + 49  25 = 53 – 28  25=25 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 1º ESO

Apuntes de Matemáticas 1º ESO PRODUCTOS NOTABLES Con el tercer producto notable: ( 3 + 2 ).( 3 – 2 ) = 32 – 22  5.1 = 9 – 4  5 = 5 ( 5 + 3 ).( 5 – 3 ) = 52 – 32  8.2 = 25 – 9  16 = 16 ( 5 + 8 ).( 5 – 8 ) = 52 – 82  13.(– 3) = 25 – 64  – 39 = – 39 Vemos que, cualquiera que sea el valor de x y de y, siempre se cumplen. Resumiendo las tres identidades notables: El cuadrado de la suma de dos números es igual a la suma de los cuadrados de dichos números más el doble de su producto. ( x + y )2 = x2 + 2.x.y + y2 El cuadrado de la diferencia de dos números es igual a la suma de los cuadrados de dichos números menos el doble de su producto. ( x – y )2 = x2 – 2.x.y + y2 El producto de la suma por la diferencia de dos números es igual a la diferencia de cuadrados de dichos números. ( x + y ) . ( x – y ) = x2 – y2 En 2º ESO veremos su demostración y algunas aplicaciones. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 1º ESO