Introducción a la integral definida Conceptos que motivan la aparición de una nueva herramienta matemática

El problema del área bajo una parábola En el siglo III a.C. Arquímedes se abocó al problema de determinar el área encerrada entre una parábola y líneas rectas. Lo hizo por el método llamado de agotamiento, que consistía en inscribir triángulos dentro del área requerida y sumar sus áreas.

El problema del área bajo una parábola (cont.) Arquímedes probó que, en el caso del área bajo la parábola y = x2, 0 < x < 1, esta no podía ser mayor que 1/3, ni menor que 1/3. Por lo tanto, debía ser igual a 1/3.

El problema del área bajo una parábola (cont.) Apelaremos a un método parecido para tratar de hallar dicha área, pero en vez de triángulos usaremos rectángulos. Podemos dividir el intervalo [0;1] en 5 subintervalos de amplitud Δx = 1/5 = 0,2, y para cada uno de ellos trazar un rectángulo cuya altura es la función evaluada en el extremo derecho del subintervalo. Calculando las áreas de esos rectángulos y sumándolas tendríamos una aproximación para el área bajo la parábola: f(x) = x2 x1 x2 x3 x4 x5

El problema del área bajo una parábola (cont.) Podemos expresar esto usando la notación de sumatoria: f(x) x1 x2 x3 x4 x5

El problema del área bajo una parábola (cont.) Esto nos ofrece unas fórmulas muy generales que podríamos aplicar para cualquier número de subintervalos. Así, si en vez de 5 divisiones tenemos 10 las expresiones quedan: f(x) x1 x3 x5 x7 x9 x2 x4 x6 x8 x10

El problema del área bajo una parábola (cont.) Vemos que nos acercamos al valor hallado por Arquímedes. Y si planteamos un número genérico de n subintervalos, nuestras aproximaciones para el área de la parábola quedarían: f(x) x1 xn

El problema del área bajo una parábola (cont.) Aparece como lógico pensar que cuantos más subintervalos tengamos mejor será la aproximación que obtengamos del área. De esa manera, definiremos como área bajo una curva de una función positiva al límite: f(x) x1 xn

El problema del área bajo una parábola (cont.) Un resultado del álgebra asegura que: f(x) x1 xn

Algunas definiciones Sea f una función con valores positivos o nulos definida en [a;b]. Llamaremos partición uniforme de [a;b] a su subdivisión en n subintervalos de igual ancho y extremos a = x0, x1, … , xi-1, xi, …, xn = b Llamaremos amplitud de cada subintervalo a su ancho, Δx = (b-a)/n. Denominaremos Rn a la sumatoria: f(x) f(xi) a=x0 x1 xi-1 xi xn=b

Generalizando el resultado En este punto podemos preguntarnos si habríamos llegado al mismo resultado tomando como altura de cada rectangulito no el valor de la función en el extremo derecho del subintervalo correspondiente, sino en algún punto cualquiera dentro del mismo, que podemos denominar punto de muestra, y simbolizar xi* . La respuesta corta es sí. Al aumentar el número de subintervalos la diferencia entre tomar el valor de la función en un extremo o en un punto interior de los mismos se diluye, y al hacer el límite cuando n tiende a infinito el punto de muestra tomado puede ser cualquiera. (Es posible demostrar rigurosamente esto, pero en este curso no lo haremos.) f(x) f(xi*) a=x0 x1 xi-1 xi xn=b x1* xi* xn*

Otra definición Sea f una función definida en [a;b]. Consideremos una partición uniforme de [a;b] en subintervalos con extremos a = x0, x1, … , xi-1, xi, …, xn = b y amplitud Δx = (b-a)/n. Denominaremos suma de Riemann para dicha función y con esa partición a la sumatoria: Donde xi* es un punto de muestra cualquiera dentro del subintervalo [xi-1, xi]. f(x) f(xi*) a=x0 x1 xi-1 xi xn=b x1* xi* xn*