MENORES Y COFACTORES

Menores Para cada entrada aij de una matriz cuadrada A de orden n (n≥2), el menor Mij se define como el determinante de la matriz de orden n – 1 obtenida al suprimir la fila i-ésima y la columna j-ésima de A. 1 2 3 4 7 5 6 M11 =

Pasos para hallar los Menores Dada la matriz A, hallar el menor M11 y describa los pasos 1.- Suprimimos la fila i y la columna j según corresponda: 2.- Formamos el determinante con los números sobrantes 3.- Hallamos el determinante

Ejercicios Dada la matriz A. Hallar el menor M12, M22 y M32

Cofactores El cofactor A i j de la entrada a i j se define como el menor M i j multiplicado por: El cofactor nos da como resultado el signo del menor.

Signos de los Cofactores En una matriz de tercer orden, el signo de los menores seria:

Ejercicio Dada la matriz A, hallar los cofactores A11, A12, A22, A32 MENOR COFACTOR M11 = -2 M12 = 8 M22 = 4 M32 = 0

Ejercicio Para la matriz A: Calcule lo siguiente: El menor de a31 b. El menor de a22 c. El cofactor de a23 d. El cofactor de a32

MATRIZ DE COFACTORES

Matriz de Cofactores Es la matriz cuadrada formada por todos los cofactores de una matriz y se denota por AC

Ejercicio de Matriz de Cofactores Encontrar la matriz cofactor de:

Ejercicio de Matriz de Cofactores Respuesta: La Matriz cofactor de A es:

Ejercicio Para la matriz A: Encuentre la matriz cofactor AC

MATRIZ ADJUNTA

Matriz Adjunta La Matriz Adjunta de A, denotada por Adj(A) es la transpuesta de la matriz de los cofactores. Donde AC es la matriz de cofactores

Ejercicio de Matriz Adjunta Obtenga la matriz adjunta de A Solución

DETERMINANTE DE UNA MATRIZ

Determinante El determinante de una matriz cuadrada A, el cual se denota por det (A) o | A |, es un valor escalar.

Determinante de una matriz de orden 1 Sea A=[a11] una matriz de orden 1. Se define el determinante de A, como: Ejemplo:

Determinante de una matriz de orden 2 Cuando la matriz A es de orden 2, el determinante es: Se observa que es la diferencia de los productos de los elementos de las diagonales en el orden dado: - a21a12 + a11a22

Ejemplo 12 -2

Ejercicios Evalúe el determinante de la siguiente matriz: 2. Encuentre el valor de x, si:

Determinante de una matriz de orden 3 Cuando la matriz A es de orden 3, el determinante es:

Observación El determinante de una matriz A de orden n (n ≥ 2) puede calcularse multiplicando cada entrada de cualquier fila o columna por su respectivo cofactor y sumando los productos resultantes.

Determinantes con el uso de cofactores Calculo del determinante usando la primera columna y sus respectivos cofactores a 11 12 13 21 22 23 31 32 33 = a . (-1) 1+1 + a 2+1 3+1 Calculo del determinante usando la tercera fila y sus respectivos cofactores a 11 12 13 21 22 23 31 32 33 = a . (-1) 3+1 + a 3+2 3+3

Ejemplo Sea: Calcular el determinante de A usando cofactores

Ejemplo Hallar el determinante de A utilizando los cofactores de la primera columna

Propiedades de los determinantes Si todos los elementos de una fila (renglón) o columna de A son nulos, entonces |A| = 0. Si dos filas o columnas de A son idénticas, entonces |A| = 0.

Propiedades de los determinantes 3. El determinante del producto de dos matrices de orden n es: |AB| = |A||B|. 4. |AT| = |A| 5. |I| = 1 Ejemplos: · El determinante de la matriz I 3 = è ç æ ø ÷ ö 1 es igual a 1.

Ejercicios 1. Evalúe el determinante de las siguientes matrices: 2. Para que valor de a el determinante es cero: