M A T R I C E S MATRICES matrices.

Presentación del tema: "M A T R I C E S MATRICES matrices."— Transcripción de la presentación:

1 M A T R I C E S MATRICES matrices

2 MATRIZ Es un arreglo rectangular de números. Los números del arreglo se denominan elementos de la matriz

3 El tamaño de una matriz se mide en término del número de renglones (líneas horizontales) y de columnas (líneas verticales) que contiene.

4

5

6

7

8 Una matriz cuadrada es simétrica si A = AT, (aij = aji para todos i, j) Sus elementos tienen simetría respecto de la diagonal principal.

9

10

11

12

13 Operaciones con matrices
Definición (Suma de matrices): Sean A={aij} y B={bij} matrices de la misma dimensión mxn. La suma A+B es la matriz C={cij} de dimensión mxn, donde cij = aij + bij , esto es, la suma de las entradas correspondientes. Ejemplo: Definición (Producto de una matriz por un escalar): Sea A={aij} una matriz mxn y r un escalar. El producto rA del escalar r y la matriz A es la matriz B={bij} de la misma dimensión de A tal que bij = r aij

14 Multiplicación de matrices:
Como ya se había visto en el capítulo anterior, un sistema de ecuaciones lineales, por ejemplo 2x1 - 3x2=7 3x1 - x2=2, tiene asociado una matriz A correspondiente a las incógnitas, y un vector b correspondiente a los términos independientes, es decir, Si ahora se escriben las incógnitas como un vector se puede denotar el sistema de ecuaciones lineales como Ax=b, es decir Esta última ecuación sugiere la noción de multiplicación de una matriz A por un vector columna x. Como noción preliminar, se introducirá el concepto de producto escalar o producto punto de dos vectores.

15 Definición (Multiplicación de matrices): Sean A={aik} una matriz de dimensión mxn y B={bkj} una matriz de dimensión nxs. El producto AB es la matriz C={cij} de dimensión mxs, donde la entrada cij de C es el producto punto de la i-ésima fila de A y la j-ésima columna de B. Nota: Obsérvese que el producto de dos matrices está definido solamente cuando el número de columnas de A es igual al número de filas de B. Ejemplo: (-3)(5) + (5)(0) + (8)(2) = 1 Posición c23 Columna 3 Fila 2

16 En general, el elemento cij está dado por
Por ejemplo, si A3x4 , B4x7 , C7x3 , los productos AB3x7, BC4x3 y CA7x4 están definidos, mientras que no es posible multiplicar BA, AC y CB. Debe observarse que el producto de matrices en general no es conmutativa, esto es, aún cuando los productos AB y BA están definidos, no es necesariamente cierto que AB=BA, como muestra el siguiente ejemplo

17 Algunas veces es deseable calcular una fila o una columna particular del producto AB. El siguiente resultado permite obtenerlas: * La j-ésima columna del producto AB=A[j-ésima columna de la matriz B] * La i-ésima fila del producto AB=[i-ésima fila de la matriz A]B Ejemplos:

18 De este último ejemplo se puede concluir que la j-ésima columna del producto AB puede verse como una combinación de las columnas de la matriz A con los coeficientes de la j-ésima columna de la matriz B.