UPC Extremos de una función real de varias variables UNIVERSIDAD PERUANA DE CIENCIAS APLICADAS UPC EDUCACIÓN SUPERIOR COMPLEMENTARIA TÓPICOS DE MATEMÁTICA 1 Extremos de una función real de varias variables

OBJETIVOS 1. Define y describe el concepto de punto extremo, valor extremo 2. Reconoce los puntos de silla 3. Calcula los extremos relativo y absoluto de una función sin restricciones

4. Interpreta geométricamente el método de Lagrange 5. Emplea el método de Lagrange para hallar extremos de funciones con restricciones. 6. Resuelve problemas que se reducen al cálculo de extremos de funciones reales de varias variables.

INTRODUCCIÓN: Una compañía planea fabricar cajas cerradas con la forma de un paralelepípedo rectangular cuya capacidad es 16 litros, el material de la tapa y el fondo cuestan el doble que el de los lados, ¿cuáles son las dimensiones para un costo mínimo?

Si x, y,z (altura) son las dimensiones (cms) de la caja, “p” el precio unitario del material en los lados tenemos: Objetivo minimizar G

Punto mínimo y valor mínimo ( a,b) se llama punto mínimo de la función f(x,y) en D si: (1) f(a,b) se llama valor mínimo de f(x,y) en D (f tiene un mínimo en (a,b))

Punto máximo y valor máximo (a,b) se llama punto máximo de la función f(x,y) en D si: (2) f(a,b) se llama valor máximo de f(x,y) en D ( f tiene un máximo en (a,b))

* Cuando la relación (1) se verifica en algún disco centrado en (a,b) diremos que es punto mínimo local y f(a,b) el valor mínimo local * Cuando la relación (1) se verifica en todo el dominio de la función diremos que el punto es mínimo absoluto (global), y f(a,b) es el valor mínimo absoluto (global)

* Cuando la relación (2) se verifica en algún disco centrado en (a,b) diremos que es punto máximo local y f(a,b) el valor máximo local * Cuando la relación (2) se verifica en todo el dominio de la función diremos que el punto es máximo absoluto ( global), y f(a,b) es el valor máximo absoluto (global)

Los puntos del dominio de la función que son mínimos locales ó máximos locales se llamarán puntos extremos , los valores de la función en estos puntos se llamarán valores extremos.

Si f tiene un extremo local en (a,b) y las derivadas parciales de f existen en dicho punto, entonces: Es decir que los puntos que verifican las dos relaciones anteriores pueden ser puntos extremos

Problema de la compañía Los puntos críticos son (0,y) (x,0) y (20,20) con este punto, hallamos (20,20,40) punto mínimo para los gastos (dimensiones de la caja en cms)

Llamamos puntos crítico a los puntos del dominio de la función donde:

Criterio de la segunda derivada Si en (a,b) tenemos: Entonces:

Multiplicadores de Lagrange Para calcular los valores máximos y mínimos de f(x,y,z) sujeta a la restricción g(x,y,z)=0, hacer: 1: Hallar los puntos x,y,z, de modo que 2: Evaluar f en los punto (x,y,z) y determinar el valor mínimo y máximo

Ejemplo: En el problema inicial de la compañía que fabrica cajas Hay que resolver