. Máximos y Mínimos Puntos de una gráfica. Punto máximo

Presentación del tema: ". Máximos y Mínimos Puntos de una gráfica. Punto máximo"— Transcripción de la presentación:

1 . Máximos y Mínimos Puntos de una gráfica. Punto máximo
Punto de inflexión . Función creciente x Función creciente Función decreciente Punto mínimo

2 Métodos para encontrar estos puntos: Función creciente y decreciente
Máximos y mínimos Criterio de la primera derivada. Criterio de la segunda derivada. Punto de inflexión Sentido de la concavidad Función creciente y decreciente

3 INTERPRETACIÓN DE LA DERIVADA
La 1ª derivada tiene 4 interpretaciones: Interpretación Geométrica. Punto tangente

4 Interpretación Trigonométrica.
3. Interpretación Matemática.

5 Máximos y Mínimos 4. Interpretación a la Física.
Criterio de la primera derivada. Se obtiene la función Se obtiene la 1a derivada. Se iguala a cero la 1ª derivada y se obtiene sus raíces o puntos críticos.

6 Para cada raíz o punto crítico se considerará un valor menor y otro mayor que se sustituirán en la 1ª derivada. Si los resultados cambian de + a – existirá un máximo. Si los resultados cambian de – a + existirá un mínimo. Se obtienen las coordenadas de los puntos máximos y mínimos, sustituyendo cada raíz o punto crítico en la función original. . . . + - máximo . - . mínimo . +

7 . . . . Criterio de la segunda derivada. Se obtiene la función
Se obtiene la 1a y 2ª derivada. Se iguala a cero la 1ª derivada y se determinan sus raíces o puntos críticos. Cada raíz o punto crítico se sustituye en la 2ª derivada y si el resultado es positivo (+) existirá un mínimo, si el resultado es negativo (-) existirá un máximo y si da cero entonces no existirá ni máximo ni mínimo. . . máximo - mínimo . + .

8 Punto de Inflexión Criterio de la segunda derivada.
Se obtiene la función Se obtiene la 1a y 2ª derivada. Se iguala la 2ª derivada con cero y se determinan las raíces o puntos críticos. Se considerará para cada raíz o punto crítico, un valor menor y otro mayor que se sustituirán en la 2ª derivada, si los resultados cambian de signo de + a - ó – a + se dice que existe un punto de inflexión, si no hay cambio de signo, entonces no existirá un punto de inflexión.

9 Se obtienen los puntos de inflexión, al sustituir cada raíz o punto crítico en la función original.
Punto de inflexión .

10 Sentido de la concavidad
Criterio de la segunda derivada. Se obtiene la función Se obtiene la 1a y 2ª derivada. Se iguala a cero la 2ª derivada y se determinan sus raíces o puntos críticos. Por separado y para cada raíz se considerará un valor menor y un valor mayor, si el resultado es positivo se dice que la función es cóncava y si es negativo se tiene una función convexa o cóncava hacia abajo. (-) (+)

11 Función Creciente y Decreciente
Criterio de la primera derivada. Se obtiene la función Se obtiene la 1ª derivada. Se iguala a cero la 1ª derivada y se determinan sus raíces o puntos críticos.

12 Para cada raíz o punto crítico, se considerará un valor menor y otro mayor de forma independiente. Si el resultado es negativo se dice que la función es decreciente, si el resultado es positivo se dice que la función es creciente. Si el resultado es cero, la función no tiene creciente y decreciente. máximo Punto de inflexión Creciente . Decreciente Creciente mínimo

13 Ejemplo: Se desea construir una caja de cartón de base rectangular sin tapa a partir de una hoja de 30 x20 cm. De tal manera que su volumen sea máximo y las dimensiones mínimas. x 20 20-2x x 30 x 30-2x x

14 Como sólo tenemos la variable , es función .

15 Método ó Criterio de la 1era derivada para calcular los máximos y mínimos.
Paso 1 Se obtiene la función Paso 2 Se determina la 1ª derivada Paso 3 Se iguala a cero y se determinan las raíces ó puntos críticos.

16 Se resuelve por fórmula general

17 Raíces ó Puntos críticos
Paso 4 Identificar el punto máximo y mínimo. V. menor V. mayor

18 . . . Se sustituye los valores en la 1ª derivada V. menor V. mayor
signos - + mínimo . Existe un mínimo . .

19 . . . V. menor V. mayor

20 Se sustituye los valores en la 1ª derivada
V. menor V. mayor signos + - Existe un máximo

21 . . . Paso 5 Obtención de las coordenadas. Se obtienen sustituyendo cada raíz o punto crítico en la función original. Para el punto mínimo

22 Se obtiene la 1ª derivada
Para el punto máximo Método ó Criterio de la 2ª derivada para calcular los máximos y mínimos. Paso 1 Se obtiene la 1ª derivada Porque se quita el 600 Paso 2 Se determinan la 1ª y 2ª derivada

23 Paso 3 Se iguala a cero la 1ª derivada y se determinan sus raíces ó puntos críticos. Se resuelve por fórmula general

24 Raíces ó Puntos críticos
Paso 4 Se sustituye cada raíz en la 2ª derivada. Mínimo

25 Máximo Paso 5 Obtención de las coordenadas de los puntos máximos y mínimos, sustituyendo las raíces ó puntos críticos en la función original. Para el punto mínimo

26 Punto de Inflexión Para el punto máximo Método de la 2ª derivada
Paso 1 Se obtiene la función Paso 2 Se obtiene la 1a y 2ª derivada.

27 Paso 3 Se iguala a cero la 2ª derivada y se determinan las raíces o puntos críticos.
Paso 4 Para cada raíz o punto crítico, se considerará un valor menor y un valor mayor que se sustituirán en la 2ª derivada. V. menor V. mayor

28 Se sustituye los valores en la 2ª derivada
Signos cambian de – a + Existe punto de Inflexión.

29 Como hay cambio de signo, entonces existe punto de inflexión, es decir, cambió en el sentido de la curva. Punto de inflexión Curva . Paso 5 Cálculo de las coordenadas del punto de Inflexión. Se obtienen sustituyendo la raíz ó punto crítico en la función original. Para se sustituye en la función original.

30 Sentido de la Concavidad
Método ó Criterio de la 2ª derivada Paso 1 Se obtiene la función Paso 2 Se obtiene la 1a y 2ª derivada. Paso 3 Se iguala a cero la 2ª derivada y se determinan sus raíces o puntos críticos. Raíz ó Punto Crítico

31 Paso 4 Para cada raíz o punto crítico, se considerará un valor mayor y otro menor de manera independiente. V. menor V. mayor Se sustituye los valores en la 2ª derivada Función Convexa Función Cóncava

32 . . . .

33 Función Creciente y Decreciente
Paso 1 Se obtiene la función Paso 2 Se determina la 1ª derivada Paso 3 Se iguala a cero y se determinan las raíces ó puntos críticos.

34 Se resuelve por fórmula general

35 Raíces ó Puntos críticos
Paso 4 Para cada raíz ó punto crítico de manera independiente, se considerará un valor menor y otro mayor que se sustituirán en la 1ª derivada. V. menor V. mayor

36 Función Decreciente Función Creciente V. menor V. mayor

37 Resultados Función Creciente Función Decreciente
Punto Máximo Pmax=(3.92, ) Punto Mínimo Pmin=(12.74, ) Punto Inflexión PInf=(8.33,-34.68)

38 . . . . Gráfica Pmax=(3.92, 1056.31) P. Inflexión(8.33, -34.68)
Decreciente Creciente . Creciente . . Creciente Decreciente Creciente Pmin=(12.74, ) Creciente ( , 3.92] Decreciente [3.92, 12.74] Convexa ( , 8.33] Cóncava [8.33, ) Creciente [12.74, )

39 Como resultado final se obtiene la caja con las dimensiones siguientes: