Integración por fracciones simples Una herramienta para obtener primitivas de funciones racionales

Introducción del problema Supongamos que queremos integrar No es un caso de primitiva inmediata, ni aparece ninguna sustitución evidente. Sin embargo observamos que: Lo cual todavía no nos ayuda mucho.

En ese momento viene un compañero y nos dice: “ey, mirá de lo que me di cuenta”: En efecto, si hacemos la resta de estas dos últimas fracciones resulta: Y esto sí nos ayuda para ejecutar la integral, porque podemos escribir:

Podemos preguntarnos: ¿siempre es posible esto, o tuvimos mucha suerte? La respuesta es que, afortunadamente, siempre podremos hacerlo. Si tenemos una función racional propia cuyo denominador es producto de polinomios de 1º grado y polinomios de 2º grado irreductibles (es decir, no factorizables) no repetidos, podemos expresarla como una suma de expresiones como se explica a continuación: Donde los términos de la derecha se llaman fracciones parciales o simples, y A, B y C son constantes que podemos obtener sumando dichas fracciones e igualando el resultado a la fracción original. Y una vez ejecutada la descomposición en fracciones parciales, se puede integrar estas últimas maniobrando algebraicamente y aplicando sustitución. En esas integraciones aparecerán con frecuencia las funciones logaritmo natural y arco tangente.

EJEMPLO Hallar la siguiente primitiva: SOLUCIÓN Escribimos: Para hallar A, B y C sumamos estas dos últimas fracciones e igualamos el resultado a la función original:

Luego:

¿Qué ocurre si se tienen factores repetidos en el denominador ¿Qué ocurre si se tienen factores repetidos en el denominador? Nos referimos a un caso como el siguiente: Aquí no podemos plantear la suma de n términos con el mismo denominador. En lugar de eso, procederemos de la siguiente manera: planteamos n términos, en que los denominadores son la expresión lineal elevada a potencias crecientes, desde 1 hasta n: Y despejamos las constantes como antes. Si en la función original en vez de una expresión lineal tuviéramos una cuadrática a la n, sería lo mismo, pero en los numeradores pondríamos expresiones lineales:

EJEMPLO Hallar la siguiente primitiva: SOLUCIÓN Observamos que el denominador se puede factorizar, pues es un trinomio cuadrado perfecto; y escribimos: Hallando A y B:

Luego

EJEMPLO Hallar la siguiente primitiva: SOLUCIÓN Observamos que el denominador se puede factorizar, pues tiene raíces reales; es decir, no es irreductible. Escribimos: Hallando A y B:

Luego:

EJEMPLO Proponga una descomposición en fracciones simples para la siguiente integral indefinida. No calcule los coeficientes: