Seminario: Consecuencia Lógica: modelos y hechos modales Prof. Eduardo Alejandro Barrio 1er cuatrimestre de 2005 Facultad de Filosofía y Letras, UBA.

Seminario: Consecuencia Lógica: modelos y hechos modales Presentaciones actuales de la semántica de Modelos Las fórmulas cerradas son parte de un lenguaje formal no interpretado La interpretación se realiza por medio de estructuras conjuntistas Modo de interpretación: estructura o modelo Cada modelo posee un dominio de interpretación (un conjunto no vacío) Cada modelo posee una asignación (que puede variar de modelo en modelo) y un dominio (que puede variar de modelo en modelo) Ejemplos de dominios: el conjunto de los números naturales, el de los perros de caballito, el de los alumnos del seminario, etc.

Seminario: Consecuencia Lógica: modelos y hechos modales I Ф (g) Se lee como: La secuencia g satisface F (una función oracional) con respecto al modo de interpretación I U Ф (g) La secuencia g satisface F (una función oracional) con respecto a la estructura U. M Ф (g) La secuencia g satisface F (una función oracional) con respecto al modelo M.

Seminario: Consecuencia Lógica: modelos y hechos modales [[ ]] M,g Es lo mismo que M Ф (g) El valor semántico de la oración cerrada que reemplaza la función oracional. Ese valor es producto de asignar los objetos apropiados a las constantes no lógicas que figuren en en el modelo M y los objetos temporales asignados por g a las variables originales que figuren en. [[ T(Alfred) ]] M,g El valor semántico de T(Alfred). Ese valor es producto de asignar a Alfred el objeto Tarski integrante del D del modelo M y determinar si este está incluido en el conjunto de los objetos que en el dominio del modelo M son teóricos de modelos.

Seminario: Consecuencia Lógica: modelos y hechos modales Hodges W. Elementary Predicate Logic en Gabbay y Guenthner Handbook of Philosophical Logic. A Shorter Model Theory Truth in structure Chang & Keisler Model Theory

Seminario: Consecuencia Lógica: modelos y hechos modales Modelo Proposicional: D = {T, F} V M es una función que asigna elementos de D a cada una de las oraciones del lenguaje proposicional. (i) V M ( ¬ ) = 1 sss V M ( ) = 0 (ii) V M ( ) = 1 sss V M ( ) = 1 y V M ( ) = 1 (iii) V M ( v ) = 1 sss V M ( ) = 1 o V M ( ) = 1 (iv) V M ( ) = 1 sss V M ( ) = 0 o V M ( ) = 1 ¿Qué capacidad tiene LP para relacionarse con una estructura extralingüistica? Mediante V M se determinan las condiciones veritativas de todas las oraciones de LP Esta estructura permite asignar objetos (valores veritativos) a las oraciones de LP, de tal manera que el valor veritativo del todo sea una función del valor veritativo de los componentes.

Seminario: Consecuencia Lógica: modelos y hechos modales ¿Por qué es suficiente de el D esté integrado por T y F? - Porque la adecuación deductiva es algo que depende de las relaciones (posibles) entre valores veritativos. - Porque la forma lógica de las oraciones de LP contienen conectivos que se aplican a oraciones completas I(p) = La nieve es blanca El sol es verde El pasto es verdeLas nubes son rosas El cielo es azul TF

Seminario: Consecuencia Lógica: modelos y hechos modales Características de los modelos LP Los modelos LP son tales que es posible construir una lista finita de las I que son relevantes para el establecimiento de (i) la verdad de cada una de sus oraciones (simples o compuestas) (ii) la relación de consecuencia entre cualquier conjunto K de sus oraciones y cualquier oración perteneciente a LP (iii) la validez lógica de cada una de sus oraciones.

Seminario: Consecuencia Lógica: modelos y hechos modales Modelo de primer orden: - Para determinar el valor de verdad de cualquier oración necesitamos saber de qué estamos hablando. - El dominio de discurso indica acerca de qué estamos hablando y la función de interpretación pone en relación este dominio con el lenguaje. - Un modelo es una estructura conjuntista que sirve para asignar una interpretación a las oraciones de un lenguaje., V M > Toda oración de L debe recibir una interpretación (se le debe asignar un objeto apropiado de D)

Seminario: Consecuencia Lógica: modelos y hechos modales Enfoque Substitucional: Restricción simplificadora: todos los objetos de D tienen nombre Se reduce la verdad en M de x y de x a la verdad en M de [c/x] Sean D: conjunto de entidades I: función que asigna entidades apropiadas de D a las expresiones de L (i) Si c es una constante de L, entonces I(c ) D (ii) Si P es una letra n-aria de L, entonces I(P) D n (si n es 1, su interpretación es un conjunto) [[c/x]] M = reemplace x por c. V M : Función que asigna valores veritativos a las oraciones de L Si M es un modelo para L cuya función de interpretación I es una función de las constantes de L sobre el dominio D, entonces V M se define como sigue

Seminario: Consecuencia Lógica: modelos y hechos modales (I) [[P n (c 1,..., c n )]] M = 1 sss [[P n ]] M (ii) [[ ¬ ]] M = 1 sss [[ ]] M = 0 (iii) [[ & ]] M = 1 sss [[ ]] M = 1 y [[ ]] M = 1 (iv) [[ x ]] M = 1 sss [[ [c/x] ]] M = 1, para toda constante c de L (v) [[ x ]] M = 1 sss [[ [c/x] ]] M = 1, para alguna constante c de L.

Seminario: Consecuencia Lógica: modelos y hechos modales Enfoque por asignación: No hay restricción simplificadora [[x n ]] Mg = el objeto ubicado en el n-ésimo lugar de la secuencia g asignado en el Modelo [[Alfred]] Mg = La interpretación de Alfred en el modelo M g [x/Tarski] = el objeto asignado temporalmente en la secuencia g V Mg : Función que asigna valores veritativos a las oraciones de L Si M es un modelo para L cuya función de interpretación I es una función de las constantes de L sobre el dominio D y g es una secuencia de objetos que permite asignar valores temporales a las variables,entonces [[…]] Mg se define como sigue (I) [[P n (c 1,..., c n )]] Mg = 1 sss [[P n ]] Mg (ii) [[ ¬ ]] Mg = 1 sss [[ ]] Mg = 0 (iii) [[ & ]] Mg = 1 sss [[ ]] Mg = 1 y [[ ]] Mg = 1 (iv) [[ x ]] Mg = 1 sss [[ f[d/x] ]] Mf = 1, para todo objeto d asignado temporalmente en una secuencia f, idéntica a g, salvo en el lugar...

Seminario: Consecuencia Lógica: modelos y hechos modales Implicación Lógica S es una implicación lógica de K sss para toda valuación de M respecto de una secuencia g, si [[K]] Mg = 1, entonces [[S]] Mg = 1 Equivalencia Lógica S y K son lógicamente equivalentes sss para toda valuación de M y toda secuencia g, [[K]] Mg = [[S]] Mg

Seminario: Consecuencia Lógica: modelos y hechos modales Dos conceptos de Modelo: Verdad en toda interpretación de las constantes no lógicas Verdad en toda interpretación de las constantes no lógicas sacada de cualquier dominio no vacío de objetos. Dos estructuras

Seminario: Consecuencia Lógica: modelos y hechos modales Argumento de la divergencia (Etchemendy) Sean tarskiana y MT Dada cualquier selección fija de expresiones lingüísticas, tarskiana y MT no son equivalentes, Porque (a) hay casos de una que no son casos de la otra y (b) la tarskiana no puede ser refinada de manera tal de que se convierta en MT Hay al menos dos objetos x x (xx) ¿Es una fórmula universalmente válida? Es verdadera en toda estructura tarkiana (con un único dominio), No es verdadera en toda estructura modelo teórica (hay un dominio (el que contiene un solo objeto) en cuya interpretación resulta falsa.

Seminario: Consecuencia Lógica: modelos y hechos modales Propuesta de lectura Gómez-Torrente – Ray: Tarski usa tácitamente una concepción de dominio variable Dice Tarski: (A) Si tratamos todas las expresiones del lenguaje como constantes lógicas, el concepto de consecuencia lógica se transforma en el de consecuencia material. S es consecuencia material de K ssi o S es verdadera o algún miembro de K es falso Sin embargo, esta afirmación sólo parece ser verdadera si se adopta una concepción de dominio fijo Argumento de Gila Sher (1) Hay exactamente una cosa K La función oracional no contiene variables (2) Hay exactamente dos cosasS Por eso, el valor de verdad no depende de las secuencias particulares (2) no es una consecuencia lógica de (1), hay secuencias de un único objeto que no satisfacen (2), pero que satisfacen (1).

Seminario: Consecuencia Lógica: modelos y hechos modales Gómez-Torrente Hay al menos dos objetos Es una afirmación sin constantes no lógicas que habla acerca de la cardinalidad de un conjunto de objetos - Se la puede considerar universalmente válida: de hecho, era lo que algunos hacian en la época -Se puede adaptar el aparato tarskiano para que no resulte universalmente válida - Relativizar los cuantificadores: agregar un preducado no lógico U cuya interpretación ponga límites a las interpretaciones de los otros predicados no lógicos. - Hay al menos dos objetos de U - x Ux x Ux (xx) - También se pueden relativizar las secuencias (el primer integrate sea un d)

Seminario: Consecuencia Lógica: modelos y hechos modales Propuesta de Bays Hay razones para no atribuir un uso implícito del enfoque de dominio variable (Etchemendy cap. 5 sostiene lo mismo, aunque no por las mismas razones) (i) Problemas técnicos: No hay convenciones que regulen la interacción de objetos correspondientes a las variables de las funciones oracionales (ii) El enfoque de dominio variable siempre es divergente de (F) El enfoque de dominio fijo, bajo la suposición de que haya tantas expresiones como objetos, da un resultado equivalente a (F) (iii) La suposición de que todos los términos del lenguaje se pueden tomar como constantes lógicas, hace coincidir las nociones de consecuencia lógica con la de consecuencia material. Esto se cumple, siempre y cuando se adopte una concepción de dominio fijo.

Seminario: Consecuencia Lógica: modelos y hechos modales El ejemplo de Gila Sher apoya (iii) (1) Hay exactamente una cosa (2) Hay exactamente dos cosas Bajo las suposiciones usuales (2) no es una consecuencia lógica de (1) porque en el enfoque de dominio relativizado hay secuencias de objetos de un único integrante que Sat (1), pero no (2). Si se asume lo que dice Tarski (respecto de que si todo término se toma como constante lógica, entonces coinciden la noción de consecuencia lógica con la de consecuencia material), lo que dice tarski es falso. No pueden coincidir las nociones de consecuencia lógica (def en términos de dominios variables) y la de consecuencia material

Seminario: Consecuencia Lógica: modelos y hechos modales Dilema de Ray: O bien Tarski se equivoca al adoptar una concepción de dominio fijo o (no se equivoca y adopta un enfoque de dominio variable, pero) se equivoca acerca de lo que dice respecto de la coincidencia entre las nociones de consecuencia lógica y material. - Ray Logical consequence: a defense of Tarski

Seminario: Consecuencia Lógica: modelos y hechos modales - Posibles objeciones contra la tesis de Bays - Tesis de Bays: Tarski no adopta ni explicita ni implícitamente la concepción de dominio variable. - Tesis de MGT y de Ray: Tarski adopta implícitamente la concepción de dominio variable. - Porque: - (i) Hay muchos metateoremas que dependen de la adopción de la concepción de dominio variable - (ii) la concepción de dominio fijo tiene consecuencias contraintuitivas - (1) Tim existe - Por eso, (2) hay 37 cosas - ¿Puede la lógica determinar (presuponer) cuantas cosas existen? - ¿(2) es una consecuencia a priori de (1)?

Seminario: Consecuencia Lógica: modelos y hechos modales - En la concepción de dominio fijo, de hecho, las constantes no lógicas son reinterpretadas asignando entidades de un único dominio (El conjunto de todas las cosas actuales?) - ¿Es suficiente asignar entidades a partir de D y sólo de D? - La intuición de que Hay al menos dos objetos no debe ser satisfecha por toda secuencia parece indicar que hay que contemplar otra posibilidad - La existencia de un D con un único integrante que no la satisfaga. ¿No será que la concepción de dominio fijo no contempla todas los posibles modos de interpretar?