Seminario: Consecuencia Lógica: modelos y hechos modales Prof. Eduardo Alejandro Barrio 1er cuatrimestre de 2005 Facultad de Filosofía y Letras, UBA.

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2 Seminario: Consecuencia Lógica: modelos y hechos modales Prof. Eduardo Alejandro Barrio 1er cuatrimestre de 2005 Facultad de Filosofía y Letras, UBA.

3 Seminario: Consecuencia Lógica: modelos y hechos modales Consecuencia Material a priori Analítica Metafísica lógica - S es una consecuencia material de K ssi o K es falsa, o S es verdadera - S es una consecuencia a priori de K ssi la sola aceptación de K garantiza (sin recurrencia a elemento empírico alguno) la aceptación de S, una vez aceptado K por las razones que fueran. - S es una consecuencia analítica de K sss la verdad de S garantiza la verdad de K en virtud puramente del significado de los términos (lógicos y extralógicos) que figuran en K y en S. Ejemplo: Esto es rojo. Por lo tanto, Esto tiene color. - S es una consecuencia metafísica de K sss se preserva la verdad necesaria de K a S. Por ejemplo, Esto es agua. Por lo tanto, Esto es H2O.

4 Seminario: Consecuencia Lógica: modelos y hechos modales (E) La relación de consecuencia lógica es una relación formal. Si una oración A es una consecuencia lógica de un conjunto de oraciones B, C, D, etc., entonces cualquier argumento que tenga la misma forma que el argumento con premisas B, C, D, etc. y conclusión A será también un argumento en que la conclusión es una consecuencia lógica de las premisas. es una relación modal. Es modal en cuanto que es una relación de implicación necesaria, donde la conclusión se sigue necesariamente de las premisas. Es una relación a priori La aceptación de las premisas garantizan (sin recurrencia a elemento empírico alguno) la aceptación de la conclusión, una vez aceptado K por las razones que fueran.

5 Seminario: Consecuencia Lógica: modelos y hechos modales 1.- Interpretación - Para todo modo de interpretar K y S de forma que todas las oraciones que componen K sean verdaderas, también hace verdadera a S. - Preservación de la verdad para todo modo de interpretar. 2.- Sustitución: - No hay una sustitución uniforme de todos las expresiones no lógicas que figuren en K y en S de manera tal que K sea verdadera y S falsa. 3. Modelo - Para todo modelo en el que K es verdadera, O también es verdadera. Tarski The sentence X follows logically from the sentences of the class K if and only if every model of the class K is also a model of the sentence X.

6 Seminario: Consecuencia Lógica: modelos y hechos modales Objeciones de Etchemendy 1.- El enfoque tarskiano tiene contraejemplos Cuando uno compara la extensión del concepto intuitivo de consecuencia lógica con la del concepto de consecuencia tarskiano, encuentra que esas extensiones difieren: hay casos que resultan ser casos de consecuencia intuitiva que en el enfoque tarskiano no resultan serlo y casos que resultan ser casos de consecuencia tarskiana que no lo son desde el punto de vista intuitivo.

7 Seminario: Consecuencia Lógica: modelos y hechos modales 3.- Tarski comete una falacia modal cuando argumenta que su explicación captura el concepto intuitivo de consecuencia lógica, y por eso oscureció una debilidad esencial de la explicación Lo que Tarski tiene que hacer para justificar su definición es probar: (A) Si X es una consecuencia tarskiana de K, ent necesariamente (Si todas las oraciones de K son verdaderas, X es verdadera) Etchemendy reconstruye la prueba con la que Tarski probaría que su concepto captura el componente modal como sigue: Supongamos (i) X es una consecuencia lógica tarskiana de K (ii) No es cierto que (Si toda todas las oraciones de K son verdaderas, X es verdadera) O lo que es equivalente: todas las oraciones de K son actualmente verdaderas y X es actualmente falsa Estas suposiciones son contradictorias: (i) dice que X es verdadera en todo modelo en el cual todas las oraciones que integran K son verdaderas, pero (ii) dice que hay un modelo, nominalmente, uno que está representando el mundo actual todas las oraciones de K son verdaderas y X es falsa

8 Seminario: Consecuencia Lógica: modelos y hechos modales Sin embargo, Etchemendy señala que lo que una prueba con esta estructura es (B) Necesariamente (Si X es una consecuencia tarskiana de K, entonces (Si todas las oraciones de K son verdaderas, X es verdadera) Pero, (B) no implica (A) (A) Si X es una consecuencia tarskiana de K, ent necesariamente (Si todas las oraciones de K son verdaderas, X es verdadera)

9 Seminario: Consecuencia Lógica: modelos y hechos modales In palabras de Etchemendy: To show that all Tarskian consequences are consequences in the ordinary sense, we would need to prove a theorem with embedded modality.... Obviously, the proof in question does not show that every Tarskian consequence is a consequence in the ordinary sense. It is only through an illicit shift in the position of the modality that we can imagine ourselves demonstrating of any Tarskian consequence that it is entailed by [i.e., follows with necessity from] the corresponding set of sentences. De Nec (p implica q) no se sigue que p implica Nec q)

10 Seminario: Consecuencia Lógica: modelos y hechos modales Objeciones de Etchemendy 3.- El enfoque de Tarski depende de que haya una distinción esencial entre términos lógicos y no lógicos, pero hay lenguajes muy sencillos en los cuales ninguna distinción de este tipo puede ser realizada.

11 Seminario: Consecuencia Lógica: modelos y hechos modales Los lenguajes de primer orden: Al presentar un lenguaje formal se incorporan en un modo claro algunas características importantes de los lenguajes naturales. Estas características pueden verse de manera mucho más transparentes. Podemos apreciar toda la riqueza del lenguaje natural que no puede ser capturada en lenguaje formal. Apreciar la enorme ambigüedad que presentan los lenguajes naturales.

12 Seminario: Consecuencia Lógica: modelos y hechos modales Nombres Propios (constantes de individuos) - Todo nombre debe nombrar un objeto - Ningún nombre puede nombrar mas de un objeto - Un objeto puede ser nombrado por más de un nombre. - Un objeto puede no ser nombrado por ningún nombre.

13 Seminario: Consecuencia Lógica: modelos y hechos modales Predicados (Constantes de predicados) - Toda constante de predicado tiene una aridad fija, un número que nos dice cuántos nombres son necesarios para formar una oración completa. - Todo predicado está interpretado por un conjunto o por un conjunto ordenado. - En el LN un mismo predicado puede tener áridad diferente.

14 Seminario: Consecuencia Lógica: modelos y hechos modales Funciones - Permiten formar nombres de otros nombres. - Se pueden formar términos complejos utilizando símbolos de función de áridad n seguidos de n términos - Los términos complejos son usados como nombres. Ejemplos: El discípulo de x. Suma (x, y)

15 Seminario: Consecuencia Lógica: modelos y hechos modales El Lenguaje L Expresiones Símbolos lógicos Cuantificador universal de primer orden Cuantificador existencial de primer orden Condicional material Conjunción Disyunción Negación ¬ Símbolos auxiliares Paréntesis (, ) Expresiones no Lógicas Constantes individuales: Alfred, Rudolf, John Variables de individuos: x, y, z, Subíndice (1,...,n) para generar infinitas variables por posposición a x Símbolos de función monádicos 'f1' (El discípulo de Alfred), 'f2',..., 'fn', Predicados diádicos: = (Identidad), C (criticar a) Predicados monádicos T (es un teórico de modelos), N (es hombre) Ejemplos de enunciados de este lenguaje y sus significados son T (Alfred) (Tarski es un teórico de modelos) T (f1) (El discípulo de Tarski es un teórico de modelos) x(Nx ¬CxAlfred) (Para todo ser humano x, si x es hombre, entonces x no critica a Tarski) x(Nx x 1 (N x 1 Cx x 1 )) (Para todo ser humano x 1 existe otro x 1 tal que x critica a x 1 ).

16 Seminario: Consecuencia Lógica: modelos y hechos modales Definición de término Las constantes individuales, las variables y el resultado de escribir cualquier función n-ádica seguida por n-términos singulares es un término singular del lenguaje. Definición de Fórmula Atómica Las fórmulas atómicas bien formadas son el resultado de escribir cualquier predicado n-ádico seguido por n-términos singulares. Definición Recursiva de FBF Las fórmulas bien formadas son las fórmulas atómicas bien formadas, la negación de cualquier fórmula bien formada, la conjunción (la disyunción, la condicionalización) de dos fórmulas bien formadas cualesquiera, y la cuantificación universal (la cuantificación existencial) de cualquier fórmula bien formada con respecto a alguna variable. Las oraciones son las fórmulas cerradas (fórmulas que no contienen ninguna variable libre).

17 Seminario: Consecuencia Lógica: modelos y hechos modales Lenguaje Set Predicado diádico (Símbolo de identidad) Predicado diádico (Símbolo de Pertenencia) Predicado monádico: C (ser un conjunto) Constantes de individuos a, b (nombran conjuntos o individuos) Variables de individuos: x, y, z, Subíndice (1,...,n) para generar infinitas variables por posposición a x Cuantificador universal de primer orden ( ), Cuantificador existencial de primer orden, ( ), Condicional material ( ), Bicondicional material ( ) Conjunción ( ) Disyunción Negación (¬), Paréntesis ((, )) Variables de individuos: u, v x, y, z, Subíndice (1,...,n) para generar infinitas variables por posposición a x Ejemplos de fórmulas y x (x y Cx) (Para cada conjunto existe la clase a la cual pertenece) u w ( x (x u x w w) (Dos clases que coinciden en sus elementos son la misma clase) Cx y x y (Un conjunto es una clase que es elemento de alguna clase)

18 Seminario: Consecuencia Lógica: modelos y hechos modales Elementos metalingüísticos: Las comillas se utilizan como mecanismos para generar nombres. ' ', ' ' son expresiones de la teoría de conjuntos, y f, g, h son variables de secuencias de objetos. Un caso de una secuencia de objetos podría ser.

19 Seminario: Consecuencia Lógica: modelos y hechos modales Fórmulas de LInterpretación pretendida T (Alfred) (Tarski es un teórico de modelos) T (f1) (El discípulo de Tarski es un teórico de modelos) x(Nx ¬CxAlfred) (Para todo ser humano x, si x es hombre, entonces x no critica a Tarski) x(Nx x 1 (N x 1 Cx x 1 )) (Para todo ser humano x 1 existe otro x 1 tal que x critica a x 1 ). Otros modos de interpretarInterpretación 1Interpretación 2 T (Alfred) 3 un número impar4 es un número par x(Nx ¬CxAlfred) (Para todo número natural x, si x es par, entonces x no es mayor que 2)

20 Seminario: Consecuencia Lógica: modelos y hechos modales Modelo Proposicional: D = {T, F} V es una función que asigna elementos de D a cada una de las oraciones del lenguaje proposicional. (i) V M ( ¬ ) = T sss (ii) V M ( ) = 1 sss V M ( ) = 1 y V M ( ) = 1 (iii) V M ( v ) = 1 sss V M ( ) = 1 o V M ( ) = 1 (iv) V M ( ) = 1 sss V M ( ) = 0 o V M ( ) = 1 ¿Qué capacidad tiene LP para relacionarse con una estructura extralingüistica? Mediante V M se determinan las condiciones veritativas de todas las oraciones de LP Esta estructura permite asignar objetos (valores veritativos) a las oraciones de LP, de tal manera que el valor veritativo del todo sea una función del valor veritativo de los componentes.

21 Seminario: Consecuencia Lógica: modelos y hechos modales ¿Por qué es suficiente de el D esté integrado por T y F? - Porque la adecuación deductiva es algo que depende de las relaciones (posibles) entre valores veritativos. - Porque la forma lógica de las oraciones de LP contienen conectivos que se aplican a oraciones completas I(p) = La nieve es blanca El sol es verde El pasto es verdeLas nubes son rosas El cielo es azul TF

22 Seminario: Consecuencia Lógica: modelos y hechos modales Características de los modelos LP Los modelos LP son tales que es posible construir una lista finita de las I que son relevantes para el establecimiento de (i) la verdad de cada una de sus oraciones (simples o compuestas) (ii) la relación de consecuencia entre cualquier conjunto K de sus oraciones y cualquier oración perteneciente a LP (iii) la validez lógica de cada una de sus oraciones.

23 Seminario: Consecuencia Lógica: modelos y hechos modales Modelo de primer orden: - Para determinar el valor de verdad de cualquier oración necesitamos saber de qué estamos hablando. - El dominio de discurso indica acerca de qué estamos hablando y la función de interpretación pone en relación este dominio con el lenguaje. - Un modelo es una estructura conjuntista que sirve para asignar una interpretación a las oraciones de un lenguaje., V M > Toda oración de L debe recibir una interpretación (se le debe asignar un objeto apropiado de D)

24 Seminario: Consecuencia Lógica: modelos y hechos modales Restricción simplificadora: todos los objetos de D tienen nombre Se reduce la verdad en M de x y de x a la verdad en M de [o/x] Sean D: conjunto de entidades I: función que asigna entidades apropiadas de D a las expresiones de L (i) Si c es una constante de L, entonces I(c ) D (ii) Si P es una letra n-aria de L, entonces I(P) D n (si n es 1, su interpretación es un conjunto) [[c/x]] M = reemplace x por o. V M : Función que asigna valores veritativos a las oraciones de L Si M es un modelo para L cuya función de interpretación I es una función de las constantes de L sobre el dominio D, entonces V M se define como sigue

25 Seminario: Consecuencia Lógica: modelos y hechos modales (I) [[P n (c 1,..., c n )]] M = 1 sss [[P n ]] M (ii) [[ ¬ ]] M = 1 sss [[ ]] M = 0 (iii) [[ & ]] M = 1 sss [[ ]] M = 1 y [[ ]] M = 1 (iv) [[ x ]] M = 1 sss [[ [c/x] ]] M = 1, para toda constante c de L (v) [[ x ]] M = 1 sss [[ [c/x] ]] M = 1, para alguna constante c de L.

26 Seminario: Consecuencia Lógica: modelos y hechos modales Implicación Lógica S es una implicación lógica de K sss para toda valuación de M, si [[K]] M = 1, entonces [[S]] M = 1 Equivalencia Lógica S y K son lógicamente equivalentes sss para toda valuación de M, [[K]] M = [[S]] M