Seminario: Consecuencia Lógica: modelos y hechos modales Prof. Eduardo Alejandro Barrio 1er cuatrimestre de 2005 Facultad de Filosofía y Letras, UBA.

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2 Seminario: Consecuencia Lógica: modelos y hechos modales Prof. Eduardo Alejandro Barrio 1er cuatrimestre de 2005 Facultad de Filosofía y Letras, UBA.

3 Seminario: Consecuencia Lógica: modelos y hechos modales Condición (F) If, in the sentences of the class K and in the sentence X, the constantsapart from purely logical constantsare replaced by any other constants (like signs being everywhere replaced by like signs), and if we denote the class of sentences thus obtained from K by K0, and the sentence obtained from X by X0, then the sentence X0 must be true provided only that all the sentences of the class K0 are true. (p. 415). Poder expresivo del lenguaje the condition (F) could be regarded as sufficient for the sentence X to follow from the class K only if the designations of all possible objects occurred in the language in question (p. 416).

4 Seminario: Consecuencia Lógica: modelos y hechos modales Consecuencia Lógica y consecuencia material In the extreme case we could regard all terms of the language as logical. The concept of formal consequence would then coincide with that of material consequence. The sentence X would in this case follow from the class K of sentences if either X were true or at least one sentence of the class K were false. (p. 419) Presunta Falacia Modal I have the impression that everyone who understands the content of the above definition will admit that it captures many intuitions manifested in the everyday usage of the concept of following. Its various consequences speak no less strongly for the adequacy of this definition. In particular e.g. one can prove on the basis of the definition accepted above that a sentence which follows logically from true sentences must itself be true; further, that the relation of following logically is completely independent of the sense of the extra-logical constants occurring in the sentences among which this relation obtains; in a word, one can show that the above formulated condition (F) is necessary for the sentence X to follow logically from the sentences of the class K.

5 Seminario: Consecuencia Lógica: modelos y hechos modales Reconstrucción del argumento Supongamos (1) K t S Supongamos(2) No es cierto que (S se siga con nec de K) (3) Si K t S, entonces no hay modelo tarskiano de K que no sea también modelo de S Pero(4) Si S no se sigue con necesidad de K, hay un modo de interpretar intuitivo en el cual todas las fórmulas de K son actualmente verdaderas y S es actualente falsa. (5) Hay un modelo (el que representa la interpretación intuitiva actual de las expresiones no lógicas), en el que K es verdadera y S falsa. (5) (1) y (2) se contradicen

6 Seminario: Consecuencia Lógica: modelos y hechos modales Reconstrucción del Argumento: Hay que probar (8R) Kt S De K se preserva verdad a S (Kint S) Ray: Hay un sentido en el que el must se cumple: interpretarlo weak como preservación de verdad para toda substitición Supongamos (i) Kt S Y (ii) De K no se preserva la verdad a S (para cualquier modo de interpretar intuitivo) (iii) Si de K no se preserva la verdad a S, entonces hay un argumento (producto de la substitución) que va de K´ a S´ en el cual K´ es verdadera, y S es falsa (de (ii) ) (iv) Existe una I, tal que I(K) es actualmente verdadera y I(S) es actualmente falsa. Sin embargo, (v) Estas afirmaciones son contradictorias: (i) dice que S es verdadera en toda interpretación tarskiana en la cual todas las oraciones que integran K son verdaderas, pero (iv) dice que hay una I, nominalmente, una que está representando conjuntisticamente el modo de interpretar intuitivo en la cual K es verdadera y S es falsa.

7 Seminario: Consecuencia Lógica: modelos y hechos modales Etchemendy argumenta que (8R) es falsa. Hay más modos de interpretación informales que los modos de interpretación tarskianos (los de la semántica interpretacional). Pero, Se pretende que (CO) Puede ser probado, sobre la base de las definiciones, que toda consecuencia de oraciones verdaderas debe ser verdadera construido como (9w) implique (8R) (Falacia modal). (9w) Necesariamente (Si K t S, entonces (Si todas las oraciones de K son verdaderas, X es verdadera) (B) (9s) (Si K t S, entonces necesariamente (Si todas las oraciones de K son verdaderas, X es verdadera) (A)

8 Seminario: Consecuencia Lógica: modelos y hechos modales Reconstrucción de Shapiro: Hay que probar (8R) t S S es verdad para todo modo intuitivo de interpretarlaint S Sea S (1) Pa v No Pa (2) (Xx v No Xx) Función oracional tarskiana (3) (2) no tiene términos no lógicos. Por eso, (2) no tiene nada que reinterpretar (4) Pa v No Pa es una verdad lógica sss (2) es verdadera en todo M. (5) Ya que los modos de interpretar no insiden en (4), y sólo insiden los modos de representar posibilidades, la generalización es suficiente para analizar el componente modal.

9 Seminario: Consecuencia Lógica: modelos y hechos modales Reconstrucción del argumento de Sher: Tesis de Sher: Para toda modo de interpretar los lenguajes que Tarski tomó en cuenta, hay una interpretación conjuntista isomófica a ella. Se prueba (A) (Si K t S, entonces necesariamente (Si todas las oraciones de K son verdaderas, X es verdadera) Bajo la suposición de que S es implicado con necesidad de K sss no hay un modelo (posible) (un modo de interpretar conjuntista) de K que no sea un modelo de S. Supongamos (1) Si K t S Supongamos(2) Es posible que (toda K sea V & S falsa) (3) Sea Σ = K U {¬ S}, tales que las fórmulas de Σ sean parte de una T. (4) Si es intuitivamente posible que todas las fórmulas de Σ resulten verdaderas, hay un modelo tarkiano (uno de T) que realiza esa posibilidad.

10 Seminario: Consecuencia Lógica: modelos y hechos modales Resultado de Kreisel (cfr MGT cap. 7): Si Σ es parte de una teoría de primer orden, (4) es verdadero. Aún para T de primer orden, podemos estar tentados a ir más allá de lo que establece la prueba. Problemas filosóficos: - Cómo modelos cuyos dominios resultan ser incontables pueden ser proyectados sobre dominios contables. - Cómo interpretaciones que representan posibilidades intuitivas pueden ser exhaustivamente proyectadas sobre interpretaciones conjuntistas.

11 Seminario: Consecuencia Lógica: modelos y hechos modales (C ) El presunto error de alcance cuantificacional que Ray le atribuye a Etchemendy: Etchemendy: Sólo si se prueba (8R) Si hay un modo de interpretar tarskiano en el cual S es una consecuencia de K, K int S, se establecería la corrección del análisis tarskiano. Ray: es un error pensar que (8R) probaría la corrección del análisis tarskiano, ya que se debería probar algo aún más fuerte (13 de re) x x es un modo de interpretar tarskiano tal que siempre que (tal que es necesario que) en ese modo de interpretar tarskiano en el cual S es una consecuencia de K, se da que K int S, Y no, tal como pide Etchemendy (13 de dicto) Es necesario que x x es un modo de interpretar tarskiano en el cual si S es una consecuencia de K, se da que K int S Del hecho de que haya algunas interpretaciones que no hagan un trabajo correcto no se sigue que ninguna lo haga. (p. 652)

12 Seminario: Consecuencia Lógica: modelos y hechos modales ¿Son casos del concepto intuitivo de consecuencia? (1) Si Etchemendy se equivoca, Tarski tiene razón. Etchemendy se equivoca. Por eso, Tarski tiene razón. (2) Que haya agua en Marte implica que hay H2O. (3) La nieve sea blanca. Por lo tanto, tiene color. (4)3-1 2. Por eso, 4 – 2 2 (5)Veo mi mano frente a mi. Por eso, el mundo exterior existe. ¿Cuáles son los modos de interpretar intuitivos que hay que considerar? ¿Qué es un modo de interpretar intuitivo? Reemplazo de una oración del lenguaje natural por otra. Reinterpretaciones modales.

13 Seminario: Consecuencia Lógica: modelos y hechos modales Consecuencias Material a priori Analítica Metafísica - S es una consecuencia material de K ssi o K es falsa, o S es verdadera - S es una consecuencia a priori de K ssi la sola aceptación de K garantiza (sin recurrencia a elemento empírico alguno) la aceptación de S, una vez aceptado K por las razones que fueran. - S es una consecuencia analítica de K sss la verdad de S garantiza la verdad de K en virtud puramente del significado de los términos (lógicos y extralógicos) que figuran en K y en S. Ejemplo: Esto es rojo. Por lo tanto, Esto tiene color. - S es una consecuencia metafísica de K sss se preserva la verdad necesaria de K a S. Por ejemplo, Esto es agua. Por lo tanto, Esto es H2O.

14 Seminario: Consecuencia Lógica: modelos y hechos modales Manuel García Carpintero

15 Seminario: Consecuencia Lógica: modelos y hechos modales (i) Todos los argumentos válidos MT son instancias de implicación por necesidad lógica (ii) Necesariamente (Todos los argumentos válidos MT son instancias de implicación por necesidad lógica) Interpretar el Necesariamente como Es conceptualmente verdadero o Es analíticamente verdadero (iii)Todos los argumentos válidos MT son argumentos tales que ningún argumento con la misma forma lógica tiene premisas verdaderas y conclusión falsa (iv) Todo argumento cuyas instancias resultan ser casos de implicación por necesidad lógica son tales que la afirmación conjuntista K t S no es conjuntisticamente equivalente a una proposición matematicamente fuerte Comparación: (9w) Necesariamente (Si K t S, entonces (Si todas las oraciones de K son verdaderas, X es verdadera) (B) (9s) (Si K t S, entonces necesariamente (Si todas las oraciones de K son verdaderas, X es verdadera) (A)

16 Seminario: Consecuencia Lógica: modelos y hechos modales Tesis de Mario: Defensa de (i): (Todos los argumentos válidos MT son instancias de implicación por necesidad lógica) ¿Podemos dar una prueba de (i)? Maybe... ¿Hay problemas con (i)? Sólo bajo la suposición (iv) Rechazo de: (ii) Necesariamente (Todos los argumentos válidos MT son instancias de implicación por necesidad lógica) Interpretar el Necesariamente como Es conceptualmente verdadero o Es analíticamente verdadero (iii) es (F): Ray y transmisión de verdad

17 Seminario: Consecuencia Lógica: modelos y hechos modales Gómez-Torrente: Dos problemas con García Carpintero: (a) Confunde (i) y (ii): Si (i) no es (ii), entonces se es eliminativista modal (b) Problemas de interpretación de Tarski y confunde la posición de Mario con la de Tarski. ¿Qué razón tiene García Carpintero para pedir (ii)? Argumento epistémico: una generalización accidental sobre un número infinito de casos como (i), nunca es suficiente para justificar (ii) Podemos fallar en obtener una justificación de (ii), aún cuando estemos justificados para sostener (i) Respuesta de Gómez Torrente: Tanto (i) como (ii) son conjeturas hipotéticas, no se justifican recorriendo casos, se las acepta en ausencia de contraejemplos. Ejemplo: Todo algoritmo es una función conputable.

18 Seminario: Consecuencia Lógica: modelos y hechos modales García Carpintero: (i) es trivial y no tiene diferencias con (iii), es decir, con (F) Gómez-Torrente: Incorrecto. (iii) y (F) no son modales. En cambio, (i) lo es !!!!!! No hay una prueba de (i) para cualquier orden. Sólo hay una prueba para primer orden. Eso muestra que no es trivial.

19 Seminario: Consecuencia Lógica: modelos y hechos modales ¿Por qué aceptar (iv)? Todo argumento cuyas instancias resultan ser casos de implicación por necesidad lógica son tales que la afirmación conjuntista K t S no es conjuntisticamente equivalente a una proposición matematicamente fuerte. Analogía con verdadera T Si este predicado y el predicado veritativo intuitivo están relacionados conceptualmento como (ii) demanda, entonces, ya que la afirmación de que X es verdadera en sentido intuitivo no refiere a un conjunto, estaríamos obligados a concluir falsamente que la afirmación X es verdadera T no refiere a un conjunto. Rechazar (ii) y quedarse con (i), permite en ambos casos, quedarse con la conjetura modal, sin adoptar compromisos conjuntistas fuertes.

20 Seminario: Consecuencia Lógica: modelos y hechos modales FIN