Seminario: Interpretaciones y Modelos Conjuntistas Profesores Dr Alberto Moretti Dr Eduardo Alejandro Barrio 2do cuatrimestre de 2005 Facultad de Filosofía y Letras, UBA.

Seminario: Interpretaciones y Modelos Conjuntistas 1.- Interpretación -          Para todo modo de interpretar K y S de forma que todas las oraciones que componen K sean verdaderas, también hace verdadera a S. -          Preservación de la verdad para todo modo de interpretar. 2.- Sustitución: -          No hay una sustitución uniforme de todos las expresiones no lógicas que figuren en K y en S de manera tal que K sea verdadera y S falsa. 3. Modelo -          Para todo modelo en el que K es verdadera, O también es verdadera.  Tarski “The sentence X follows logically from the sentences of the class K if and only if every model of the class K is also a model of the sentence X.”

Seminario: Interpretaciones y Modelos Conjuntistas Los lenguajes de primer orden: Al presentar un lenguaje formal se incorporan en un modo claro algunas características importantes de los lenguajes naturales.   Estas características pueden verse de manera mucho más transparentes. Podemos apreciar toda la riqueza del lenguaje natural que no puede ser capturada en lenguaje formal. Apreciar la enorme ambigüedad que presentan los lenguajes naturales.

Seminario: Interpretaciones y Modelos Conjuntistas Nombres Propios (constantes de individuos) -          Todo nombre debe nombrar un objeto -          Ningún nombre puede nombrar mas de un objeto -          Un objeto puede ser nombrado por más de un nombre. - Un objeto puede no ser nombrado por ningún nombre.

Seminario: Interpretaciones y Modelos Conjuntistas Predicados (Constantes de predicados)   -          Toda constante de predicado tiene una aridad fija, un número que nos dice cuántos nombres son necesarios para formar una oración completa. -          Todo predicado está interpretado por un conjunto o por un conjunto ordenado. - En el LN un mismo predicado puede tener áridad diferente.

Seminario: Interpretaciones y Modelos Conjuntistas Funciones   -          Permiten formar nombres de otros nombres. -          Se pueden formar términos complejos utilizando símbolos de función de áridad n seguidos de n términos -          Los términos complejos son usados como nombres. Ejemplos: El discípulo de x. Suma (x, y)

Seminario: Interpretaciones y Modelos Conjuntistas El Lenguaje L   Expresiones Símbolos lógicos  Cuantificador universal de primer orden ‘"’ Cuantificador existencial de primer orden ‘$’ Condicional material ‘®’ Conjunción ‘Ù’ Disyunción ‘Ú’ Negación ‘¬’  Símbolos auxiliares Paréntesis ‘(’ , ‘)’ Expresiones no Lógicas Constantes individuales: ‘Alfred’, ‘Rudolf’, ‘John’ Variables de individuos: ‘x’, ‘y’, ‘z’, Subíndice (‘1,...,n’) para generar infinitas variables por posposición a ‘x’ Símbolos de función monádicos 'f1' (El discípulo de Alfred) , 'f2' ,..., 'fn', Predicados diádicos: ‘=’ (Identidad), ‘C’ (criticar a) Predicados monádicos ‘T’ (es un teórico de modelos), ‘N’ (es hombre) Ejemplos de enunciados de este lenguaje y sus significados son T (Alfred) (Tarski es un teórico de modelos) T (f1) (El discípulo de Tarski es un teórico de modelos) "x(Nx®¬CxAlfred)’ (Para todo ser humano x, si x es hombre, entonces x no critica a Tarski) "x(Nx®$y (Ny Ù Cx y))’ (Para todo ser humano x1 existe otro y1 tal que x critica a y).

Seminario: Interpretaciones y Modelos Conjuntistas Definición de término Las constantes individuales, las variables y el resultado de escribir cualquier función n-ádica seguida por n-términos singulares es un término singular del lenguaje.   Definición de Fórmula Atómica Las fórmulas atómicas bien formadas son el resultado de escribir cualquier predicado n-ádico seguido por n-términos singulares. Definición Recursiva de FBF Las fórmulas bien formadas son las fórmulas atómicas bien formadas, la negación de cualquier fórmula bien formada, la conjunción (la disyunción, la condicionalización) de dos fórmulas bien formadas cualesquiera, y la cuantificación universal (la cuantificación existencial) de cualquier fórmula bien formada con respecto a alguna variable. Las oraciones son las fórmulas cerradas (fórmulas que no contienen ninguna variable libre).

Seminario: Interpretaciones y Modelos Conjuntistas Lenguaje Set   Predicado diádico (Símbolo de identidad)  Predicado diádico (Símbolo de Pertenencia)  Predicado monádico: C (ser un conjunto) Constantes de individuos a, b (nombran conjuntos o individuos) Variables de individuos: ‘x’, ‘y’, ‘z’, Subíndice (‘1,...,n’) para generar infinitas variables por posposición a ‘x’ Cuantificador universal de primer orden (‘"’), Cuantificador existencial de primer orden, (‘$’), Condicional material (‘®’), Bicondicional material (‘’) Conjunción (‘Ù’) Disyunción ‘Ú’ Negación (‘¬’), Paréntesis (‘(’, ‘)’) Variables de individuos: ‘u’, ‘v’ ‘x’, ‘y’, ‘z’, Subíndice (‘1,...,n’) para generar infinitas variables por posposición a ‘x’ Ejemplos de fórmulas $y "x (xy  Cx) (Para cada conjunto existe la clase a la cual pertenece) "u"w ("x (xu  xw ® u  w) (Dos clases que coinciden en sus elementos son la misma clase) Cx  $y xy (Un conjunto es una clase que es elemento de alguna clase)

Seminario:Interpretaciones y Modelos Conjuntistas Fórmulas de L Interpretación pretendida T (Alfred) (Tarski es un teórico de modelos) T (f1) (El discípulo de Tarski es un teórico de modelos) "x(Nx®¬CxAlfred) (Para todo ser humano x, si x es hombre, entonces x no critica a Tarski) "x(Nx®$x1 (N x1 Ù Cx x1)) (Para todo ser humano x1 existe otro x1 tal que x critica a x1). Otros modos de interpretar Interpretación 1 Interpretación 2 T (Alfred) 3 un número impar 4 es un número par "x(Nx®¬CxAlfred) (Para todo número natural x, si x es par, entonces x no es mayor que 2)

Seminario:Interpretaciones y Modelos Conjuntistas Modelo Proposicional: <D, VM >  D = {T, F} V es una función que asigna elementos de D a cada una de las oraciones del lenguaje proposicional.   (i)                   V M (¬ ) = T sss (ii)                 V M ( Ù ) = 1 sss V M () = 1 y V M ( ) = 1 (iii)                V M ( v ) = 1 sss V M () = 1 o V M ( ) = 1 (iv)                V M ( → ) = 1 sss V M () = 0 o V M ( ) = 1 ¿Qué capacidad tiene LP para relacionarse con una estructura extralingüistica? Mediante V M se determinan las condiciones veritativas de todas las oraciones de LP  Esta estructura permite asignar objetos (valores veritativos) a las oraciones de LP, de tal manera que el valor veritativo del todo sea una función del valor veritativo de los componentes.

Seminario: Interpretaciones y Modelos Conjuntistas ¿Por qué es suficiente de el D esté integrado por T y F?  -          Porque la adecuación deductiva es algo que depende de las relaciones (posibles) entre valores veritativos.   -          Porque la forma lógica de las oraciones de LP contienen conectivos que se aplican a oraciones completas I(p) = La nieve es blanca El sol es verde El pasto es verde Las nubes son rosas El cielo es azul T F

Seminario: Interpretaciones y Modelos Conjuntistas Características de los modelos LP Los modelos LP son tales que es posible construir una lista finita de las I que son relevantes para el establecimiento de (i)                   la verdad de cada una de sus oraciones (simples o compuestas) (ii)                 la relación de consecuencia entre cualquier conjunto K de sus oraciones y cualquier oración perteneciente a LP (iii)                la validez lógica de cada una de sus oraciones.

Seminario: Interpretaciones y Modelos Conjuntistas Modelo de primer orden: -          Para determinar el valor de verdad de cualquier oración necesitamos saber de qué estamos hablando.   -          El dominio de discurso indica acerca de qué estamos hablando y la función de interpretación pone en relación este dominio con el lenguaje. -          Un modelo es una estructura conjuntista que sirve para asignar una interpretación a las oraciones de un lenguaje. < <D, I>, VM > Toda oración de L debe recibir una interpretación (se le debe asignar un objeto apropiado de D)

Seminario: Interpretaciones y Modelos Conjuntistas Restricción simplificadora: todos los objetos de D tienen nombre   Se reduce la verdad en M de x  y de x  a la verdad en M de [c/x]  Sean D: conjunto de entidades I: función que asigna entidades apropiadas de D a las expresiones de L (i) Si c es una constante de L, entonces I(c )  D (ii) Si P es una letra n-aria de L, entonces I(P)  D n (si n es 1, su interpretación es un conjunto) [[c/x]]M = reemplace x por c. VM : Función que asigna valores veritativos a las oraciones de L Si M es un modelo para L cuya función de interpretación I es una función de las constantes de L sobre el dominio D, entonces VM se define como sigue 

Seminario: Interpretaciones y Modelos Conjuntistas (I) [[Pn (c1,..., cn)]]M = 1 sss < [[c1]]M,..., [[ cn ]]M >  [[Pn]]M (ii)                 [[ ¬ ]]M = 1 sss [[ ]]M = 0 (iii)                [[  & ]]M = 1 sss [[ ]]M = 1 y [[ ]]M = 1 (iv)                [[x ]]M = 1 sss [[ [c/x] ]]M = 1, para toda constante c de L (v) [[x ]]M = 1 sss [[ [c/x] ]]M = 1, para alguna constante c de L.

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Seminario: Interpretaciones y Modelos Conjuntistas Implicación Lógica S es una implicación lógica de K sss para toda valuación de M y toda asignación temporal g, si [[K]]M g = 1, entonces [[S]]M g = 1 Equivalencia Lógica S y K son lógicamente equivalentes sss para toda valuación de M y toda asignación temporal g, [[K]]M g = [[S]]M g