Seminario: Consecuencia Lógica: modelos y hechos modales Prof. Eduardo Alejandro Barrio 1er cuatrimestre de 2005 Facultad de Filosofía y Letras, UBA.

Seminario: Consecuencia Lógica: modelos y hechos modales Todo análisis de un concepto intuitivo preserva (al menos) la coextensionalidad K t S K int S M. Gómez Torrente Cap. 5 La definición será correcta en el caso de que todo argumento (de cualquier lenguaje formal) que sea un ejemplo de consecuencia lógica en el sentido intuitivo lo sea también de (consecuencia lógica) t, y viceversa.

Seminario: Consecuencia Lógica: modelos y hechos modales Problema: K t S K int S ¿Ocurre que cuando una conclusión S es consecuencia lógica de un conjunto de premisas K también ocurre que todo modelo del conjunto K es un modelo de la oración S? Estrategia: prueba por absurdo: Intentar probar que no ocurre y llegar a una contradicción

Seminario: Consecuencia Lógica: modelos y hechos modales Argumento 1 Tesis a probar K int S K t S 1.- Supongamos que K int S & que hay una interpretación I que es modelo de K pero que no es modelo de S. 2.- int un concepto formal y modal 3.- Si int un concepto formal, todo argumento con la misma forma que K int S es también un ejemplo de int 4. Toda ampliación de expresiones no lógicas persistente 5.- Si int es modal y K´ int S´, S´es implicada por necesidad lógica por las K 6. S´es implicada por necesidad lógica por las K entonces no es posible que todas las oraciones de K' sean verdaderas y X' falsa. 7.- Sin embargo, 1.- dice que hay una I que es modelo de K y no de X y 6.- que esa I no es posible que exista.

Seminario: Consecuencia Lógica: modelos y hechos modales Argumento 2 Tesis a probar K t S K int S Una respuesta positiva habría de basarse al menos en dos argumentos: K t S es una relación formal, es decir, para mostrar que (para cualesquiera K, K', X y X') si todo modelo de K es un modelo de X y el argumento de K a X tiene la misma forma que el de K' a X', entonces todo modelo de K' es un modelo de X'; Esa relación es una relación modal, es decir, para mostrar que (para cualesquiera K y X) si todo modelo de K es un modelo de X entonces K implica X por necesidad lógica. (En este punto, Tarski cometería la falacia modal)

Seminario: Consecuencia Lógica: modelos y hechos modales (1) La relación de (consecuencia lógica)t es formal (véase Tarski (1936), p. 417) Supongamos que todo modelo de K es modelo de X, y (en busca de un absurdo) que hay un argumento de, digamos, K' a X' con la misma forma pero tal que todas las oraciones de K' son verdaderas y X' es falsa; pero entonces tomemos la interpretación de las constantes no lógicas de K' y X' en la cual las oraciones de K' son verdaderas y X' es falsa, y usémosla para interpretar de la forma natural las constantes no lógicas de K y X; en esta interpretación, las oraciones de K son verdaderas y X es falsa, contra la suposición de que todo modelo de K es un modelo de X. Argumento paralelo al de Etchemendy (la presunta falacia modal)

Seminario: Consecuencia Lógica: modelos y hechos modales El argumento tarskiano sólo funciona bajo la suposición de que la interpretación, en el sentido intuitivo de interpretación, de las constantes no lógicas de K' y X' que hace verdaderas a las oraciones de K' y falsa a X' es (o puede transformarse de alguna manera apropiada en) una interpretación en el sentido técnico usado en la definición de Tarski y que igualmente haga verdaderas a las oraciones de K' y falsa a X'.

Seminario: Consecuencia Lógica: modelos y hechos modales Lo que Etchemendy cita de Tarski It seems to me that everyone who understands the content of [my] definition must admit that it agrees quite well with ordinary usage. This becomes still clearer from its various consequences. In particular, it can be proved, on the basis of this definition, that every consequence of true sentences must be true, and also that the consequence relation... is completely independent of the sense of the extralogical constants which occur in these sentences. (Etchemendy p. 86.)

Seminario: Consecuencia Lógica: modelos y hechos modales Relaciones entre la noción de necesidad y la noción de generalidad. Tesis generalista extrema: Todas las atribuciones de la propiedad de necesidad que hacemos normalmente son en realidad ocultas atribuciones de generalidad acerca del mundo real. Explicar por medio de la noción de generalidad la implicación por necesidad lógica K implica por necesidad lógica X cuando hay un conjunto de expresiones de K y X tal que para todo modo de interpretar esas expresiones de forma que todas las oraciones de K sean verdaderas, también X será verdadera.

Seminario: Consecuencia Lógica: modelos y hechos modales Diferentes maneras de entender modo de interpretar Las definiciones tarskianas proponen K int S es coextensivo con el concepto de preservación de la verdad por toda estructura Entender estructura como entidad conjuntista con un dominio fijo a partir del cual se construyen las secuencias ¿Hay alguna tesis sustancial respecto a las relaciones entre la noción intuitiva de implicación por necesidad lógica y la noción de generalidad?

Seminario: Consecuencia Lógica: modelos y hechos modales El defensor de la tesis generalista se propone: (i) Explicar la noción de implicación por necesidad lógica en términos de una cuantificación universal sobre modos de interpretar oraciones. (ii) Explicar la noción de consecuencia lógica en términos de una cuantificación universal sobre modos de interpretar las constantes no lógicas.

Seminario: Consecuencia Lógica: modelos y hechos modales Posición de Etchemendy: (1) Tarski dio un argumento a favor de la tesis se gún la cual su análisis del concepto intuitivo de consecuencia captura el componente modal. (2) Tarski cometió una falacia al dar el argumento. Posición de Manuel García Carpintero (1993), de Gila Sher (1991) y de McGee (1992) (1)Tarski dio un argumento (2)No cometió ninguna falacia Posición de Mario Gómez Torrente, William Hart (reseña) y de Greg Ray (1) Tarski no dio un argumento.

Seminario: Consecuencia Lógica: modelos y hechos modales John Etchemendy The Concept of Logical Consequence (1999)

Seminario: Consecuencia Lógica: modelos y hechos modales Etchemendy: Lo que Tarski tiene que hacer para justificar que su definición de consecuencia es modal es: (A)K t S, ent necesariamente (Si todas las oraciones de K son verdaderas, S es verdadera) Ray: Tarski no tiene por qué probar (A). Si K t S, entonces, toda vez que K sea verdadera, X también lo es.

Seminario: Consecuencia Lógica: modelos y hechos modales Reconstrucción del presunto argumento Tarskiano: (Aplicado a Fórmulas Universalmente Válidas) Hay que probar t S t S tiene características modales Supongamos (i) t S Y (ii) t S no tiene carácterísticas modales (iii) Si t S, (Para Toda I), I(S)=1 (iv) Nec (Si t S, (Para Toda I), I(S)=1) (v) Si t S, Nec (Para Toda I), I(S)=1) (Paso dónde se comete la falacia modal)

Seminario: Consecuencia Lógica: modelos y hechos modales Reconstrucción del presunto argumento Tarskiano: Hay que probar K t S S es implicada necesariamente por K Supongamos (i) K t S Y (ii) S no es implicada necesariamente por K (iii) Si S no es implicada necesariamente por K, hay un argumento que va de K´ a S´ en el cual K´es verdadera, y S es falsa (de (ii) ) (iv) I, tal que I(K) es actualmente verdadera y I(S) es actualmente falsa. Sin embargo, (v) Estas afirmaciones son contradictorias: (i) dice que S es verdadera en toda interpretación en el cual todas las oraciones que integran K son verdaderas, pero (iv) dice que hay una I, nominalmente, una que está representando el mundo actual en la cual K es verdadera y S es falsa.

Seminario: Consecuencia Lógica: modelos y hechos modales Sin embargo, Etchemendy señala que lo que se prueba es (B) Necesariamente (Si K t S, entonces (Si todas las oraciones de K son verdaderas, X es verdadera) Pero, (B) no implica (A) (A) (Si K t S, entonces necesariamente (Si todas las oraciones de K son verdaderas, X es verdadera)

Seminario: Consecuencia Lógica: modelos y hechos modales In palabras de Etchemendy: To show that all Tarskian consequences are consequences in the ordinary sense, we would need to prove a theorem with embedded modality.... Obviously, the proof in question does not show that every Tarskian consequence is a consequence in the ordinary sense. It is only through an illicit shift in the position of the modality that we can imagine ourselves demonstrating of any Tarskian consequence that it is entailed by [i.e., follows with necessity from] the corresponding set of sentences. Un error de alcance: De Nec (p implica q) no se sigue que p implica Nec q

Seminario: Consecuencia Lógica: modelos y hechos modales K t S, entonces necesariamente, si toda K es verdadera, S es verdadera Y Si es necesario que (si toda K es verdadera, S es verdadera), esto es si K implica estrictamente S, entonces K S Se sigue que K t S, entonces K S ¿Es la implicación estricta una relación formal?

Seminario: Consecuencia Lógica: modelos y hechos modales Cuatro formas de entender modo de interpretar (1) entender modo de interpretar como estructura para ese lenguaje. Si la noción que tenemos en mente de modo de interpretar las constantes no lógicas de un lenguaje es simplemente la noción precisa de estructura tarskiana entonces trivialmente siempre que K t S, se daria que K int S y entonces K implicaría por necesidad lógica a X.

Seminario: Consecuencia Lógica: modelos y hechos modales Otras formas de entender la noción de modo de interpretar (2) Estructura cuyo dominio es una clase (aparición explícita en la estructura de una colección de objetos, que puede variar de estructura en estructura, y que puede ser un conjunto o una clase) Un (modo de interpretar)Cl el lenguaje L es una secuencia donde U es una clase no vacía, a es un... En este sentido, una estructura es un modo de interpretar un lenguaje donde el universo es una colección de objetos del mundo real. La pregunta aquí es si siempre que K t S, entonces K cl S, La respuesta no es inmediata, dado que hay más (modos de interpretar)CoP que estructuras tarskianas

Seminario: Consecuencia Lógica: modelos y hechos modales (3) Entender modo de interpretar como estructura cuyo dominio es un conjunto de objetos posibles Un (modo de interpretar)CoP el lenguaje es una secuencia donde U es un conjunto no vacío de objetos posibles (todos los cuales existen juntos en un mundo posible m), a es... La pregunta aquí es si siempre que K t S, entonces K conjunto posible S, La respuesta no es inmediata, dado que hay más (modos de interpretar)CoP que estructuras tarskianas

Seminario: Consecuencia Lógica: modelos y hechos modales (4) Entender modo de interpretar como estructura cuyo dominio es una clase de objetos posibles Un (modo de interpretar)ClP el lenguaje LAr es una secuencia donde U es una clase no vacía de conjuntos e individuos posibles (todos los cuales existen juntos en un mundo posible m), a es... La pregunta correspondiente es si siempre que La pregunta aquí es si siempre que K t S, entonces K clase posible S La respuesta no es inmediata, ya que naturalmente hay incluso más (modos de interpretar)ClP que (modos de interpretar)CoP y que (modos de interpretar)Cl.

Seminario: Consecuencia Lógica: modelos y hechos modales Resultados Toda estructura es o un (modo de interpretar)Cl, o un (modo de interpretar)CoP y un (modo de interpretar)ClP. Para todo lenguaje formal, no hay un argumento que garantice que para todo modo de interpretar exista una estructura tarskiana equivalente.