Tema 6: INTEGRACIÓN Integrales indefinidas Algunas integrales inmediatas Integración por partes Cambio de variable. Integración por sustitución. Integración de funciones racionales

INTEGRAL INDEFINIDA Cada función F(x): (a,b)  que verifica F’(x) = f(x) x(a,b) se dice que es una Función Primitiva de f(x) en (a,b). Teorema Fundamental del Cálculo Integral Dadas dos primitivas de una misma función f, F1(x) y F2(x), en un intervalo (a,b), éstas se diferencian en una constante: F1(x) = F2(x)+C x(a,b) Definición Al conjunto de todas las funciones primitivas de una función f(x) (F(x)+C) se le llama Integral INDEFINIDA de f(x) y se denota como

ALGUNAS INTEGRALES INDEFINIDAS

PROPIEDADES DE LA INTEGRAL INDEFINIDA

INTEGRALES REDUCIBLES A INMEDIATAS

INTEGRACIÓN POR PARTES Dadas dos funciones u(x) y v(x) derivables, con primera derivada continua, entonces: Si u=u(x) y v=v(x), se verifica du=u’(x)dx y dv=v’(x)dx. De aquí, (1) puede escribirse como

INTEGRALES RACIONALES Estas integrales tienen la forma siendo P(x) y Q(x) dos polinomios Pasos: El grado de P(x) debe ser menor que el grado de Q(x). Si grad(P(x))grad(Q(x)), los dividimos, es decir con grad(R(x))<grad((Q(x)). Entonces:

2. Si grad(P(x))<grad(Q(x) Hacemos Q(x)= 0 y resolvemos. Casos posibles: b.1. Raices reales simples b.2 Raices reales múltiples b.3. Raices complejas simples b.4 Raices complejas múltiples: Hermite. c. En todos los casos: Se escriben los dos términos con el mismo denominador, que será siempre Q(x) Igualamos los numeradores Calculamos los coeficientes desconocidos que aparecen en el segundo término de la ecuación

Descomposición: b.1. b.2. b.3.

OTRAS INTEGRALES .Cuando ax2+bx+c=0 tiene raices reales, se descompone como en el caso anterior Si ax2+bx+c=0 no tiene raices reales, el denominador puede transformarse en una expresión como (mxn)2 p identificando los coeficientes con esta expresión Dividimos numerador y denominador por p. La integral se transforma, ajustando con constantes, en una de las integrales inmediatas ya estudiadas, por ejemplo

INTEGRALES DE LA FORMA Cuando ax2+bx+c=0 tiene raices reales, se descompone como en el caso previo Si ax2+bx+c=0 no tiene raices reales, la integral se transforma, por medio de un cambio de variable en una integral de la forma an integral of the previous case

INTEGRACIÓN POR CAMBIO DE VARIABLE