Matemáticas 2º Bachillerato C.S. MATEMÁTICAS A. CS II Tema 9 * Integrales @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato C.S.

Matemáticas 2º Bachillerato C.S. INTEGRAL INDEFINIDA Tema 9.1 * 2º BCS @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato C.S.

TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO Si f es continua en el intervalo [a,b] y f(x)≥0, y F está definida en dicho intervalo de forma que mide el área sombreada; entonces la función F es derivable y verifica que F’(x) = f(x) para cualquier x de [a, b]. Y f(x) F(x) 0 a b X @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato C.S.

Matemáticas 2º Bachillerato C.S. Velocidad Velocidad = f (Tiempo) Área bajo la curva = Espacio recorrido por el móvil Tiempo @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato C.S.

Matemáticas 2º Bachillerato C.S. Potencia Potencia = f (Tiempo) Área bajo la curva = Energía consumida Tiempo @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato C.S.

Matemáticas 2º Bachillerato C.S. Indice de natalidad = f (Tiempo) 1 Área entre las curvas = Aumento de población Indice de mortalidad = f (Tiempo) Tiempo @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato C.S.

PRIMITIVAS DE UNA FUNCIÓN Hallar la función derivada de cada una de las siguientes funciones: 4 4 4 F (x) = 1/4 x ; G (x) = 1/4 x + 7 ; H(x) = 1/4 x - 5 El alumno habrá comprobado que las tres funciones: F (x), G (x) y H (x) tienen la misma función derivada: 3 f (x) = x Se dice que cada una de las funciones F(x),Gg(x) y H(x) es una primitiva de f(x). Definición: Si la función F(x) tiene como derivada la función f(x), se dice que F(x) es una primitiva de f (x). Para indicar que la función F(x) es una primitiva de la función f(x) escribiremos: F (x)= P [ f (x)] Para averiguar si una función F (x) es una primitiva de la función f (x) basta calcular la derivada de F(x): si existe y coincide con f(x), entonces F(x) es efectivamente una primitiva de f(x). @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato C.S.

Matemáticas 2º Bachillerato C.S. INTEGRAL INDEFINIDA Recordemos que si la función F (x) tiene como derivada la función f (x) entonces F (x) es una primitiva de f (x). Resultado que se interpreta en general así: La derivada de una primitiva de la función f (x) es la propia función f (x). Si F(x) es una primitiva de la función f(x), la función F(x) + C (suma de la función F(x) y de una constante C) es también una primitiva de f (x). El conjunto de todas las primitivas de la función f (x) se designa por  f(x) dx y se llama integral indefinida de f (x). Es decir:  f (x) dx = F (x) + C = conjunto de todas las primitivas de f (X). @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato C.S.

PROPIEDADES DE LA INTEGRAL PRIMERA La integral indefinida de una suma de funciones es igual a la suma de las integrales indefinidas de las funciones sumandos. Es decir:  [ f (x) + g (x) + ...+ k (x)] dx = =  f (x) dx +  g (x) dx + ..  k (x) dx. SEGUNDA La integral indefinida del producto de un número (una constante) por una función f(x) es igual al producto del número (de la constante) por la integral indefinida de la función f (x). Simbólicamente:  k .f (x) dx = k  f(x) dx @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato C.S.

INTEGRAL INDEFINIDA DE UNA FUNCIÓN POTENCIAL La derivada de la función potencial f(x)=a.xn es f ' (x)= a. n. xn-1 En efecto, sea la función f(x) =7 x4 ; su derivada f ’(x) =7. 4. x3 ¿Cómo llegar de f ’(x) a f(x)? 4 28 28 28 f(x) =P[ 28. x3 ] = P[ 28.--- x3 ] = ---- P[ 4. x3 ] = ---- x3 = ------ x3+1 4 4 4 3+1 Vemos pues que para llegar a la primitiva de una función potencial, el exponente aumenta en una unidad y el número que lo acompaña (constante) queda multiplicado por la potencia que tenía más una unidad a En general:  a. xn dx = -------- xn+1 + C n+1 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato C.S.

INTEGRAL INDEFINIDA DE UNA FUNCIÓN POLINÓMICA Sea la función polinómica f(x)= 11. x5 + 5. x3 - 7. x2 + 7x + 9. Dicha función es la suma de las funciones potenciales f1(x) = 11. x 5 ; f2(x) = 5. x 3 ; f3(x) = (-7). x 2 ; f4(x) = 7.x ; f5(x) = 9 Según las propiedades previas :  [11. x5 + 5. x3 - 7. x2 + 7x + 9 ] dx = =  11. x5 dx +  5. x3 dx -  7. x2 dx +  7x dx +  9 dx = 11. x6 5. x4 7. x3 7. x2 = ------- + ------- -- ------ + ------ + 9. x + C 6 4 3 2 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato C.S.

INTEGRALES INMEDIATAS A semejanza del cálculo de derivadas, es muy necesario para conseguir rapidez y destreza en el cálculo de integrales, conocer el resultado de algunas integrales muy sencillas y elementales llamadas INMEDIATAS. Así, como sabemos que si f(x) = 5.x  f ’ (x) = 5 Si F(x) = 5   5 dx = 5. x + C Así, como sabemos que si f(x) = sen x  f ’ (x) = cos x Si F(x) = cos x   cos x dx = sen x + C [ VER CUADRO DE INTEGRALES INMEDIATAS ] @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato C.S.