Integrales dobles sobre regiones rectangulares Unidad 5: Funciones de varias variables Integrales dobles sobre regiones rectangulares
Integrales Iteradas: De igual manera que se integró una función de una variable de ƒ(x) invirtiendo el proceso de derivación, se puede utilizar un procedimiento semejante para integrar una función de dos variables ƒ(x; y). Sin embargo, como se incluyen dos variables, se debe integrar ƒ(x; y) manteniendo una variable fija e integrando respecto a la otra.
Por ejemplo, para calcular , se integra respecto de x, utilizando el teorema fundamental del cálculo y manteniendo “y” constante. INTEGRO RESPECTO DE X ¡CONSTANTE! Calcule:
En general, integrar parcialmente una función ƒ(x, y) respecto de x en a, b genera una función que depende sólo de y, y que puede integrarse en c, d como una función de una sola variable, produciendo así lo que se denomina una integral iterada Ejemplo: INTEGRO RESPECTO DE X INTEGRO RESPECTO DE Y ¡CONSTANTE!
De manera semejante, la integral iterada se obtiene integrando primero respecto de y en c, d, manteniendo x constante, y luego integrando respecto de x en a, b. Ejemplo: INTEGRO RESPECTO DE Y INTEGRO RESPECTO DE X ¡CONSTANTE!
Ejemplos 1 Hallar las siguientes integrales iteradas: 1. 2. 3.
Integral doble sobre una región rectangular: La integral doble de f sobre la región rectangular es: x y a b d c
Ejemplos 2 Calcule las siguientes integrales dobles sobre las regiones indicadas 1. 2.
Valor Medio de una Función de dos Variables El valor promedio de una función f en dos variables definida sobre el rectángulo R, es donde A(R) es el área de la región R
Para más ejercicios, ver la guía del alumno. Ejemplo 3 Sea la función z = 7 - x2y. Halle el valor medio de dicha función en la región R: 1 x 2 ; 0 y 2 Para más ejercicios, ver la guía del alumno.