@ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.1 MATEMÁTICAS A. CS II Tema VII Derivadas

@ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.2 DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO Tema 7.2 * 2º BCS

@ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.3 DERIVADA EN UN PUNTO DE UNA FUNCIÓN Sea la función y = f(x) que se muestra en el gráfico mediante una curva. Si tomamos los puntos Po y P1 y los unimos mediante una recta, dicha recta será secante a la función que representa la curva trazada. La pendiente m de dicha recta será: Δ y y1 - yo m1 = = , Δ x x1 - xo es decir el incremento de la ordenada entre el incremento de la abscisa Imaginemos que el punto P1 se traslada hasta el punto P2. y1 yo xox1 P1 P2 Po

@ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.4 DERIVADA ….. ( Continuación) Tanto la abscisa como la ordenada han cambiado, han disminuido de valor, y la recta secante también ha variado de posición. La pendiente m de la nueva secante será: Δ y y2 - yo m2 = = , Δ x x2 - xo es decir el incremento de la ordenada entre el incremento de la abscisa. Observar que si el nuevo punto Pn tomado se va acercando más y más al punto Po, tanto el incremente de la ordenada como el de la abscisa tiende a cero. y2 yo xox2 P2 P1 P0

@ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.5 DERIVADA ….. ( Continuación) Observar que si el nuevo punto Pn tomado se va acercando más y más al punto Po, tanto el incremente de la ordenada como el de la abscisa tiende a cero. La recta secante terminará convertida en una RECTA TANGENTE, pues será tangente a la función en el punto estudiado Po = (xo, yo) La pendiente de esa recta tangente será: yn - yo 0 m = lím = [----] x  xo xn - xo 0 m = resultado de la indeterminación, si lo hay. yo xo P0 P2 P1 P3 P4

@ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.6 DERIVADA … ( Final). y1 y2 yo xox2x1 La pendiente de esa recta tangente será: yn – yo 0 m= lím = ---- x  xo xn - xo 0 A ese límite concreto es lo que llamamos: DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO ( en Po ) FUNCIÓN DERIVADA No es lo mismo la derivada de una función en un punto ( que es un número), que la función derivada (que es una función).

@ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.7 PENDIENTE Y DERIVADA 024 Sea la función y = - x 2 + 4x E l vértice ( Máximo relativo) estará en V(2, 4) La tangente a la parábola en el vértice será una recta horizontal y por tanto m=0 Conclusión: Aquellos puntos de la función cuya derivada valga cero, serán los Máximos y Mínimos relativos de dicha función. Asimismo en aquellos puntos cuya derivada sea negativa (m<0), la función será DECRECIENTE. Y si su derivada es positiva (m>0), la función será CRECIENTE. m>0 m=0 m<0

@ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.8 EJEMPLO DE APLICACIÓN 1 Sea la función y = 3 x + 4, cuya pendiente sabemos que es m=3 En x=1 f(1+h) – f(1) f ’(1) = lím = h  0 h 3(1+h) + 4 – ( ) = lím = h  0 h h + 4 – 3 – 4 = lím = h  0 h 3.h = lím = 3 h  0 h f ’(1) = m = 3 > 0  Creciente en x = m>0 y = 3x+4 x y

@ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.9 EJEMPLO DE APLICACIÓN 2 Sea la función y = - 2 x + 3, cuya pendiente ya sabemos que es m= – 2 En x=1 f(1+h) – f(1) f ’(1) = lím = h  0 h - 2(1+h) + 3 – (-2.1+3) = lím = h  0 h - 2 – 2.h – 3 = lím = h  0 h - 2.h = lím = - 2 h  0 h f ’(1) = m = - 2 < 0  Decreciente en x = m<0 y = - 2.x + 3x y 0 3 1

@ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S EJEMPLO DE APLICACIÓN 3 Sea la función y = - x 2 + 4x En x=1 f(1+h) – f(1) f ’(1) = lím = h  0 h - (1+h) (1+h) – ( ) = lím = h  0 h -1-2h-h h = lím = h  0 h 2h - h 2 = lím = 2 – 0 = 2 h  0 h f ’(1) = m = 2 > 0  Creciente m>0 m=0 m<0

@ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S EJEMPLO DE APLICACIÓN 4 Sea la función y = - x 2 + 4x En x=3 f(3+h) – f(3) f ’(3) = lím = h  0 h - (3+h) (3+h) – ( ) = lím = h  0 h -9-6h-h h = lím = h  0 h - 2h - h 2 = lím = - 2 – 0 = - 2 h  0 h f ’(3) = m = - 2 < 0  Decreciente m>0 m=0 m<0

@ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S EJEMPLO DE APLICACIÓN 5 Sea la función y = - x 2 + 4x En x=2 f(2+h) – f(2) f ’(2) = lím = h  0 h - (2+h) (2+h) – (- 4+ 8) = lím = h  0 h h -h h = lím = h  0 h - h 2 = lím = - h = - 0 h  0 h f ’(2) = m = 0  Máx o Mín m>0 m=0 m<0

@ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.13 DERIVADAS LATERALES Se llama derivada por la izquierda de f(x) en xo a: f (xo + ▲x) – f(xo) f ´ (xo-) = lím ▲x  0- ▲x Se llama derivada por la derecha de f(x) en xo a: f (xo + ▲x) – f(xo) f ´ (xo+) = lím ▲x  0+ ▲x Sólo existirá la derivada en un punto si los límites laterales coinciden.

@ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.14 EJEMPLO_1 Estudiar la derivabilidad de la función: x 2 – 9, si x ≤ 3  Función cuadrática Sea f(x) = x - 3, si x > 3  Función lineal A la izquierda de x=3 ( función cuadrática ) es continua y derivable. A la derecha de x=3 ( función lineal) es continua y derivable. Miramos si es derivable en el punto x=3 (3 + h) 2 – 9 – (3 2 – 9) h + h 2 – 9 – Lím = lim = 6.h/h + h = 6 h  0 - h h  0 - h (3 + h) – 3 – (3 – 3) 3 + h – 3 – Lím = lim = h / h = 1 h  0 + h h  0 - h Las derivadas laterales no coinciden. No es derivable en x=3

@ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.15 EJEMPLO_2 Estudiar la derivabilidad de la función: x 2 – 4, si x ≤ 2  Función cuadrática Sea f(x) = 4.x – 8, si x > 2  Función lineal A la izquierda de x=2 ( función cuadrática ) es continua y derivable. A la derecha de x=2 ( función lineal) es continua y derivable. Miramos si es derivable en el punto x=2 (2 + h) 2 – 4 – (2 2 – 4) h + h 2 – 4 – Lím = lim = 4.h/h + h = 4 h  0 - h h  0 - h 4(2 + h) – 8 – (4.2 – 8) h – 8 – Lím = lim = 4.h / h = 4 h  0 + h h  0 + h Las derivadas laterales coinciden. La función es derivable en x=2