Sesión 4 Tema: Función cuadrática Objetivo: Carrera: TNS de Electricidad en Potencia Objetivo: Resolver funciones cuadráticas, identificando elementos característicos de ellas para su aplicación en situaciones del ámbito laboral. Profesor: Víctor Manuel Reyes Asignatura: Matemática II Sede: Osorno

y = ax2 + bx + c ¡Una parábola ! Introducción Estaba Jesús predicando en el monte Sinaí y dijo a sus discípulos: “y es igual a x cuadrado, más b x, mas c” y = ax2 + bx + c Uno de los discípulos dijo: Y eso ¿qué es?   A lo que Jesús respondió:  ¡Una parábola !

Ejemplo función cuadrática

Ejemplo función cuadrática Se estudia el valor instantáneo de la tensión durante un periodo de prueba que dura 5 ms y se ha establecido que la relación: T(t ) = − 1,6t2 + 8t + 0,25 es un modelo matemático aceptable para describir el estudio. Aquí, T(t) representa el valor instantáneo de la tensión del sistema y t representa el tiempo por milisegundo (ms)

Ejemplo función cuadrática T(t ) = − 1,6t2 + 8t + 0,25 t T(t)

Función cuadrática y = f (x) = ax2 + bx + c Una función cuadrática es una expresión descrita algebraicamente por: y = f (x) = ax2 + bx + c donde a, b, c son números reales y a ≠ 0 .

Concavidad f(x) cuadrática: El gráfico de esta función cuadrática es una curva llamada PARÁBOLA, la que puede estar “abierta hacia arriba o hacia abajo”, lo que denominaremos concavidad positiva y concavidad negativa respectivamente. Concavidad (+) Concavidad (−) Se da cuando a > 0 Se da cuando a < 0

Intersección con los ejes: f(x) = x2 − 3x − 2 Intersección eje y Intersección eje x (0,y1) (x1,0) (x2,0)

Intersección con los ejes: La intersección de la parábola con el eje y es un punto (0, c) donde c es el valor dado en la expresión funcional y = f (x) = ax2 + bx + c Ejemplo: la función f (x) = 2x2 + 3x − 5 corta al eje y en el punto (0, − 5) porque c = − 5. Además está abierta hacia arriba (concavidad positiva) porque a=2 >0.

Intersección con los ejes: La intersección con el eje x, se determina cuando la gráfica intercepte el eje x, debe ocurrir que y = 0; si reemplazamos en la ecuación, obtenemos: 0 = ax2 + bx + c, por lo tanto las intersecciones de la función cuadrática con el eje x se obtienen resolviendo las ecuación de segundo grado. Por factorización Utilizando la fórmula Por completación de cuadrados

Intersección con los ejes: Por factorización: Resolver la ecuación: x2 - 12x - 28 = 0 Factorizamos el trinomio buscando dos números que multiplicados den -28 y sumados den -12 Estos son -14 y 2, por lo tanto la factorización es: (x - 14)(x + 2) = 0 Entonces se deduce que las soluciones son: x = 14 y x = -2

Intersección con los ejes: Utilizando la fórmula: Para resolver la ecuación cuadrática: ax2+bx+c=0 (con a ≠ 0), se utiliza la fórmula: Ejemplo: Resolver la ecuación: x2 – 10x +24 = 0 En esta ecuación: a = 1; b = -10 y c = 24, reemplazando en la fórmula, obtenemos: Por lo tanto x = 6 ó x = 4

Intersección con los ejes: Las soluciones de una ecuación ax2+bx+c=0 dependen del signo del discriminante que es la cantidad subradical de la fórmula: Lo que se denota Así tenemos que: 1. Si Δ > 0, la ecuación tiene soluciones reales y distintas, por lo tanto la parábola corta en dos puntos al eje x. 2. Si Δ = 0, la ecuación tiene soluciones reales iguales, por lo tanto la parábola es tangente al eje x. 3. Si Δ < 0, la ecuación no tiene soluciones reales, por lo tanto la parábola no corta el eje x.

Intersección con los ejes: Si se tienen dos soluciones reales distintas x1 , x2 , la gráfica corta al eje x en los dos puntos (x1 ,0) y (x2 , 0). y = x2 + 4x + 3 y = -2x2 + x + 2

Intersección con los ejes: Si se tienen dos soluciones reales e iguales x1 , x2 , la gráfica corta al eje x en un solo punto de coordenadas (x1 ,0) y = x2 + 4x + 4 y = -x2 + 2x -1

Intersección con los ejes: Si se tienen dos soluciones no reales x1 , x2 , la gráfica no corta al eje x. y = x2 + 2 y = -x2 -1

Coordenadas del vértice El vértice de una parábola, que es el punto donde “da la vuelta”. La fórmula del vértice, en función de los coeficientes a,b,c es: Si la parábola tiene concavidad positiva, decimos que V es un punto mínimo de la función. Si la parábola tiene concavidad negativa, V es punto máximo de la función.

Coordenadas del vértice Esto se aprecia en la gráfica, si analizamos la función f (x) = 2x2 - 3x – 2 Como tiene concavidad positiva, por ser a = 2 > 0, en la gráfica el vértice de esta parábola debe ser punto mínimo. Ocupando la fórmula, para a=2, b=−3 y c=−2, se tiene:

Coordenadas del vértice Observemos la gráfica de las siguientes funciones Indica, en cada caso, las intersecciones con los ejes x e y, y las coordenadas del vértice.