Unidad I. Fundamentos de Optimización REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA DEFENSA UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICA DE LA FUERZA ARMADA. NÚCLEO MÉRIDA INGENIERÍA DE SISTEMAS OPTIMIZACIÓN NO LINEAL Unidad I. Fundamentos de Optimización Subespacios. Norma de un Vector. Vectores Ortogonales. Base Ortogonal. Matrices. Autovalores y Autovectores.
Espacio vectorial Es aquel formado por un conjunto de vectores y un conjunto de escalares (Números reales), que además está dotado por dos operaciones: Suma de vectores A,B,C Є V A+B Є V Multiplicación por un escalar c,d,e Є K cA Є V Se denota por {V,K,+,.}
Subespacios Sea un espacio vectorial V, un subespacio U es un subconjunto no vacío de V, que satisface las siguientes propiedades: Suma de vectores B,C Є U B+C Є U Multiplicación por un escalar d Є K dB Є U
Norma de un vector Dado un espacio vectorial V, con x1,x2,…xn las coordenadas de un vector. Ejemplo: Hallar ||w||2 de (0,1,2)
Producto interno Es la suma y multiplicación de las coordenadas de dos vectores entre sí. Ejemplo: A=(2,3) B=(-3,2)
Vectores ortogonales Dos vectores son ortogonales si su Producto Interno es igual a cero.
Base Dos vectores con distinta dirección sobre un plano forman una base, pues existe un vector del plano que puede expresarse como combinación lineal de ellos. Ejemplo: Dos vectores u=(2,0) y v=(0,2) y un tercer vector w=(1,1)
Base ortogonal Es aquella donde los dos vectores que conforman la base son perpendiculares entre sí; es decir su producto interno es igual a cero.
Matrices Es una forma abreviada de escribir un sistema de m ecuaciones y n incognitas. Ejemplo: Dos familias van a una heladería y compran lo siguiente: Familia 1: 2 barquillas, 1 helado de tina y 3 granizados, gastando 42 BsF. Familia 2: 1 barquilla, 2 helados de tina y 1 granizado, gastando 51BsF.
Autovalores y Autovectores Sea A una matriz, X un vector no nulo y c un escalar. X es un autovector (vector propio) si AX=cX c se llama autovalor (valor propio) Para hallar los autovalores se debe encontrar el Polinomio Característico |A-cI|=0 Para hallar los autovectores, se buscan todos aquellos vectores tales que (A-cI)X=0