ANÁLISIS MULTIVARIANTE

Presentación del tema: "ANÁLISIS MULTIVARIANTE"— Transcripción de la presentación:

1 ANÁLISIS MULTIVARIANTE
INTRODUCCIÓN         1. Álgebra lineal y vectores aleatorios         2. Distribución normal multivariante ANÁLISIS DE LA MATRIZ DE COVARIANZAS         3. Componentes principales         4. Análisis factorial         5. Correlaciones canónicas CLASIFICACIÓN         6. Análisis discriminante         7. Análisis de conglomerados 1

2 ÁLGEBRA LINEAL Y VECTORES ALEATORIOS Vectores
Ortogonalización de Gram-Schmidt Matrices ortogonales Autovalores y autovectores Formas cuadráticas Vectores y matrices aleatorias Matriz de datos        2

3 3 EJEMPLOS

4 Matriz de datos: p variables observadas en n objetos
Vectores Matriz de datos: p variables observadas en n objetos 4 ALGEBRA LINEAL

5 Vectores Dados se define: 1. Suma 5 ALGEBRA LINEAL

6 2. Producto de un escalar por un vector
Vectores 2. Producto de un escalar por un vector 3. Producto escalar de dos vectores 6 ALGEBRA LINEAL

7 Vectores Propiedades 4. Norma de un vector 7 ALGEBRA LINEAL

8 5. Distancia entre dos vectores
6. Ángulo entre dos vectores 8 ALGEBRA LINEAL

9 Desigualdad de Cauchy-Schwarz
Vectores Desigualdad de Cauchy-Schwarz Consecuencia: 9 ALGEBRA LINEAL

10 { } i e " = 1 Vectores 7. Ortogonalidad es ortogonal si
8. Ortonormalidad { } n e , 2 1 L es ortonormal si es ortogonal i e " = 1 y todos los vectores tienen norma 1, es decir, 10 ALGEBRA LINEAL

11 Vectores Ejemplo 11 ALGEBRA LINEAL

12 Un conjunto de vectores
es linealmente independiente si =0 (la única manera de construir una combinación lineal igual a 0 es que todos los coeficientes sean 0) 12 ALGEBRA LINEAL

13 Todo conjunto ortogonal de vectores
Proposición. Todo conjunto ortogonal de vectores no nulos es linealmente independiente. ortogonal l.i. Demostración 13 ALGEBRA LINEAL

14 Vectores Proyección de x sobre y y x pr 2 , ) ( = 14 ALGEBRA LINEAL

15 Vectores Ejemplo 15 ALGEBRA LINEAL

16 Ortogonalización de Gram-Schmidt
; Ì p V V subespacio vectorial de si V es espacio vectorial, es decir, si Dado A = Propiedades 16 ALGEBRA LINEAL

17 Ortogonalización de Gram-Schmidt
Proposición Demostración 17 ALGEBRA LINEAL

18 Ortogonalización de Gram-Schmidt
Dado un conjunto de vectores l.i., se puede construir otro conjunto ortogonal que genere el mismo espacio. Sean linealmente independientes 18 ALGEBRA LINEAL

19 Ortogonalización de Gram-Schmidt
Entonces: 19 ALGEBRA LINEAL

20 Anxn; inversa A-1: A A-1 = A-1A = I. A’ transpuesta de A.
Matrices ortogonales Matrices ortogonales Anxn; inversa A-1: A A-1 = A-1A = I. A’ transpuesta de A. Qnxn es ortogonal si Q’Q = QQ’ = I. (las columnas de una matriz ortogonal son vectores ortonormales) 20 ALGEBRA LINEAL

21 Matrices ortogonales Propiedades y Qx Qy x 21 ALGEBRA LINEAL

22 Autovalores y autovectores
Anxn; autovalor de A x es autovector asociado a x Polinomio característico Ecuación característica 22 ALGEBRA LINEAL

23 Autovalores y autovectores
Ejemplo Autovalores y autovectores de 23 ALGEBRA LINEAL

24 Autovalores y autovectores Propiedades
Diagonalización de matrices 24 ALGEBRA LINEAL

25 Autovalores y autovectores: diagonalización
Si A simétrica entonces existen autovalores reales con autovectores asociados ortonormales tales que P D P’ A=PDP’, siendo D diagonal y P ortogonal (Toda matriz simétrica es diagonalizable) 25 ALGEBRA LINEAL

26 Autovalores y autovectores: diagonalización
Ejemplo Diagonalizar 26 ALGEBRA LINEAL

27 Autovalores y autovectores: representación espectral
Sea Si A es simétrica entonces existen autovalores reales con autovectores ortonormales tales que 27 ALGEBRA LINEAL

28 Autovalores y autovectores: representación espectral
Ejemplo Descomposición espectral de 28 ALGEBRA LINEAL

29 f(x)=x’ A x es una forma cuadrática
Formas cuadráticas Anxn simétrica; , f(x)=x’ A x es una forma cuadrática 29 ALGEBRA LINEAL

30 Expresar matricialmente la forma cuadrática
Formas cuadráticas Ejemplo Expresar matricialmente la forma cuadrática Escribir en forma cuadrática 30 ALGEBRA LINEAL

31 Como Anxn es simétrica, es diagonalizable,
Formas cuadráticas Como Anxn es simétrica, es diagonalizable, se puede escribir A = PDP’ y, por tanto, queda: f(x) = x’PDP’x. Haciendo y = P’x: se tiene 31 ALGEBRA LINEAL

32 x’Ax=c2 representa geométricamente una elipse en ; los autovalores son
Formas cuadráticas y los autovectores x’Ax=c2 representa geométricamente una elipse en ; los autovalores son normalizados son e1 y e2. x2 x1 y2 y1 e2 e1 32 ALGEBRA LINEAL

33 Representar, hallar los ejes y obtener la expresión reducida de
Formas cuadráticas Ejemplo Representar, hallar los ejes y obtener la expresión reducida de 33 ALGEBRA LINEAL

34 Clasificación de formas cuadráticas
Sea f(x) = x’ A x f es definida positiva si f es semidefinida positiva si f es semidefinida negativa si f es definida negativa si f es indefinida si 34 ALGEBRA LINEAL

35 Sean los autovalores de A f es definida positiva
Formas cuadráticas Sean los autovalores de A f es definida positiva f es semidefinida positiva f es semidefinida negativa f es definida negativa f es indefinida 35 ALGEBRA LINEAL

36 Raíz cuadrada de una matriz
A semidefinida positiva; B es raíz de A si A=BB; B=A1/2 ; A=A1/2 A1/2 Si A es simétrica y A=PDP’ con descomposición espectral entonces: 36 ALGEBRA LINEAL

37 Raíz cuadrada de una matriz:
Formas cuadráticas Raíz cuadrada de una matriz: Nota: 37 ALGEBRA LINEAL

38 Descomposición singular de una matriz
Dada la matriz Amxn, AA’ es cuadrada y simétrica; por tanto, diagonalizable. es un valor singular de A, si es autovalor de AA’. Descomposición singular Sea A una matriz mxn; valores singulares de A. Entonces existen matrices ortogonales U y V tales que: 38 ALGEBRA LINEAL

39 Vectores y matrices aleatorias
aleatorio Matriz aleatoria 31

40 Vectores y matrices aleatorias
Se llama vector de medias a: y covarianza entre dos variables a Se define la matriz de covarianzas de X como: 40

41 Vectores y matrices aleatorias

42 Vectores y matrices aleatorias
Ejemplo 42 ALGEBRA LINEAL

43 Vectores y matrices aleatorias
Propiedades Sea Xmxn y sean Akxm y Bnxr matrices de constantes. Entonces: 43

44 Vectores y matrices aleatorias
Matriz de correlaciones donde en forma matricial: donde V es la matriz de varianzas: 44

45 Vectores y matrices aleatorias
Partición de un vector aleatorio Sea Vector de medias: Matriz de covarianzas: , donde 45

46 Matriz de datos 46

47 Matriz de datos Vector de medias: Matriz de varianzas y covarianzas: donde Matriz de correlaciones: , donde 47

48 48 EJEMPLOS

49 49 EJEMPLOS

50 50 EJEMPLOS

51 51 EJEMPLOS

52 52 EJEMPLOS

53 53 EJEMPLOS

54 54 EJEMPLOS

55 Matriz de datos Proposición Dado 55

56 La matriz de datos se puede representar como:
Diagrama de dispersión, n puntos en el espacio x1 x2 x3 p=2 p=3 x1 x2 Como para p>3 no es posible representarlo, se utilizan diagramas de dispersión múltiple con pares de variables. 56

57 Considerando las columnas en vez de la filas de la
Matriz de datos Considerando las columnas en vez de la filas de la matriz de datos, es decir, p puntos en Y Y2 Y Yp Para cuatro variables: Y1 Y4 Y3 Y2 Y Y Y Y4 57

58 Matriz de datos Vector de unos: n unos Propiedades y forma el mismo ángulo con todos los ejes. es el vector unitario que forma el mismo ángulo en todas las direcciones. 58

59 Proyección de un vector sobre el vector
Matriz de datos Proyección de un vector sobre el vector yi 1 59

60 Matriz de datos Vector de desviaciones a la media: 60

61 Matriz de datos Entonces: 61

62 Matriz de datos Varianza generalizada y varianza total: 62

63 Matriz de datos Varianza generalizada de X: Varianza total de X: Varianza generalizada muestral: Varianza total muestral: 63

64 Matriz de datos Interpretación geométrica Área = Varianza generalizada en 64

65 65 EJEMPLOS

66 66 EJEMPLOS

67 67 EJEMPLOS

68 Matriz de datos Combinaciones lineales de las componentes de una variable y las combinaciones lineales: Media muestral de c’X: Varianza muestral de c’X: Covarianza muestral de c’X y b’X: 68

69 Matriz de datos Ejemplo 69 ALGEBRA LINEAL

70 70 EJEMPLOS

71 71 EJEMPLOS

72 72 EJEMPLOS

73 73 EJEMPLOS

74 74 EJEMPLOS

75 75 EJEMPLOS

76 76 EJEMPLOS