Función lineal y sus aplicaciones Dirección de Formación Básica

Función lineal Habilidades a desarrollar: Al terminar el presente tema, usted estará en la capacidad de: Encontrar la regla de correspondencia de una función lineal. Graficar funciones lineales en el plano cartesiano. Calcular el valor numérico de una función lineal, teniendo en cuenta el algoritmo correspondiente. Resolver problemas de contexto real aplicando funciones lineales.

Aplicaciones a la Economía Función lineal Aplicaciones a la Economía Función costo total (C) Función ingreso total (I) La función costo total hace referencia a todos los tipos de gastos que tiene un empresa, diferenciando entre los costos fijos (costos independientes del nivel de producción) y costos variables (costos que sí dependen del nivel de producción). La función ingreso total es la cantidad de dinero que un fabricante recibe por la venta de su producción 𝐈 𝒙 = 𝐏𝐫𝐞𝐜𝐢𝐨 𝐮𝐧𝐢𝐭𝐚𝐫𝐢𝐨 𝐝𝐞 𝐯𝐞𝐧𝐭𝐚 ∙ 𝐜𝐚𝐧𝐭𝐢𝐝𝐚𝐝𝐞𝐬 𝐯𝐞𝐧𝐝𝐢𝐝𝐚𝐬 Función utilidad (U) 𝐂 𝒙 =𝐂𝐨𝐬𝐭𝐨 𝐯𝐚𝐫𝐢𝐚𝐛𝐥𝐞+𝐂𝐨𝐬𝐭𝐨 𝐟𝐢𝐣𝐨 La función utilidad es el ingreso total menos el costo total. 𝐔 𝒙 =𝐈(𝒙)−𝐂(𝒙)

Función lineal Ejemplo 4. Una empresa de calzados tiene un costo fijo mensual de $ 1 500 y el costo de producción por unidad (par de zapato) es de $ 30. Cada par de zapato se vende en $ 80. Determine la función costo total, la función de ingreso total y la función utilidad. Determine la cantidad de equilibrio. Resolución Sea 𝑥 el número de pares de zapatos vendidos y producidor Parte a) Función costo total Función ingreso total Función utilidad Es la suma del costo variable CV con el costo fijo CF. Es el producto del precio unitario de ventas con cantidades vendidas 𝑥. Es la diferencia del ingreso total y el costo total. C(𝑥)= CV+CF I(𝑥)= 𝑝𝑥 U(𝑥)=I(𝑥) – C(𝑥) 𝐶 𝑥 =30𝑥+1 500 I 𝑥 =80𝑥 U 𝑥 =80𝑥−(30𝑥+1 500) U 𝑥 =50𝑥−1 500 Parte b) La cantidad de equilibrio se obtiene al resolver cualquiera de las siguientes ecuaciones U 𝑥 =0 o I 𝑥 =C(𝑥) U(𝑥)=0 → 50𝑥−1 500=0 → 50𝑥=1 500 → 𝑥=30 Respuesta: la empresa no gana ni pierde si produce y vende 30 pares de zapatos mensuales.

Función lineal Del ejemplo anterior, grafique la función costo total, ingreso total y la utilidad. 𝐈 𝒙 =𝟖𝟎𝒙 C, I, U C 𝒙 =𝟑𝟎𝒙+𝟏 𝟓𝟎𝟎 𝐔 𝒙 =𝟓𝟎𝒙−𝟏 𝟓𝟎𝟎 𝑥 Observe que la cantidad de equilibrio es 𝑥=30.

Función lineal Ejemplo 5. [Costo lineal] A una compañía le cuesta $75 producir 10 unidades de cierto artículo al día y $120 producir 25 unidades del mismo artículo al día. Determinar la ecuación de costos, suponiendo que es lineal. ¿Cuál es el costo de producir 20 artículos al día? ¿Cuál es el costo variable y el costo fijo por artículo? Resolución a) Como la función costo es lineal, entonces 𝐶 𝑥 =𝑚𝑥+𝑏 Se nota que: Para 𝑥=10 → 𝑓 10 =75 → 10∙𝑚+𝑏=75 Para 𝑥=25 → 𝑓 25 =120 → 25∙𝑚+𝑏=120 Planteamos el Sistema de Ecuaciones Lineales 10𝑚+𝑏 = 75 25𝑚+𝑏 = 120 → 𝑚=3 𝑏=45 → 𝐶 𝑥 =3𝑥+45 b) Para 𝑥=20 se tiene que 𝐶 20 =3 20 +45=105 dólares c) El costo variable es 3𝑥, y el costo fijo es 45 unidades.

Función lineal Ejemplo 6. [Depreciación lineal] Un fabricante compra una máquina por $20 000. Esta se deprecia linealmente, de manera que después de 10 años su valor comercial será de $1000. Expresar el valor de la maquinaria como una función de su antigüedad. Calcular el valor de la maquinaria después de 4 años. ¿Cuándo se depreciará totalmente esta maquinaria? Resolución a) Como el valor de la máquina se deprecia linealmente, entonces 𝑓 𝑡 =𝑚𝑡+𝑏 Se nota que: Para 𝑡=0 → 𝑓 0 =20 000 → 0∙𝑚+𝑏=20 000 Para 𝑡=10 → 𝑓 10 =1000 → 10∙𝑚+𝑏=1 000 Planteamos el Sistema de Ecuaciones Lineales 0𝑚+𝑏 = 20 000 10𝑚+𝑏 = 1 000 → 𝑚=−1 900 𝑏=20 000 → 𝑓 𝑡 =−1900𝑡+20000 b) Para 𝑡=4 se tiene que 𝑓 4 =−1900 4 +20000=12 4000 dólares c) Para que se deprecie totalmente la maquinaria, se debe de cumplir que 𝑓 𝑡 =0. Entonces −1900𝑡+20000=0 → 𝑡=10,53 añox aprox.

Función lineal Ejemplo 6. Según los pronósticos del Servicio Nacional de Meteorología e Hidrología (SENAMHI), esta semana, continuará incrementándose la temperatura. La información proporcionada es que hoy la temperatura será de 20° y luego, cada día que pase, la temperatura irá incrementándose en 0.25° ¿Usted puede pronosticar la temperatura del día 30? Resolución Observamos que a medida que el tiempo aumenta en 1 día, la temperatura aumenta 0.25°. Este resultado es la pendiente. Si la variable 𝑥 representa el tiempo en días y 𝑇 la temperatura del día, la relación de las dos magnitudes será 𝑇 = 0,25 𝑥+20 Cuando 𝑥 es el día 30, la temperatura pronosticada será: T 30 =0,25 30 +20=27.5°

Función lineal Conclusiones: La forma de una función lineal es 𝑓 𝑥 =𝑚𝑥+𝑏 con 𝑚≠0. La gráfica de una función lineal es una línea recta que tiene pendiente 𝑚 y ordenada en el origen 𝑏. Si 𝑚>0 entonces la función es creciente. Si 𝑚<0 entonces la función es decreciente. Si 𝑚=0 entonces la función es constante, por tanto, su gráfica es una línea horizontal.

Función lineal Bibliografía [1] Arya, Jagdish C. (2009) Matemática aplicada a la Administración. Ed 5. México, D.F. Pearson. [2] Haeussler, Ernest F. (2008). Matemática para Administración y Economía. Ed 12. Pearson Educación.